p-greco per tutti (o quasi) vale 3,14 ma non finisce mica lì, proviamo ad esplorarlo più a fondo:

Per una antica passione per tutti gli strumenti di calcolo posseggo, e per puro divertimento a volte utilizzo dei regoli calcolatori, ormai superati strumenti di calcolo, che permettevano, prima dell'avvento delle calcolatrici di fare complessi calcoli con degli strumenti che potevano benissimo essere trasportati (pensate allo spazio occupato da un righello (i più piccoli, e quindi i meno versatili) fino ad una stecca da disegno (circa 40 cm per i più grandi quindi forniti di più scale e quindi più funzioni).

Il principio di calcolo si basa  sulla somma o sottrazione, meccanica di segmenti.

La moltiplicazione
(somma di due segmenti)
L’'inizio dello scorrevole, (l' l della scala C), viene portato sopra il 18 della scala D.
Spostando il corsolo sul valore 13 della scala C, si somma il segmento 13 al segmento 18 e il risultato finale 234 si può leggere sulla scala D, sotto l'indice del corsoio.

La divisione
(sottrazione di due segmenti, inversione della moltiplicazione)
Il valore 2620 della scala D e il valore 17,7 della scala C si fanno coincidere ricorrendo all'indice dei corsoio.
Il risultato 148 viene letto sotto l'inizio dello scorrevole della scala C; (in altri casi può eventualmente apparire sotto l’estremo destro della scala C).

Le scale sfalsate CF e DF
Le scale CF e DF sono una ripetizione delle scale fondamentali C e D, ma in confronto a queste sono sfalsate in modo in modo che il valore pi=3,142 nella scala CF e DF sta precisamente sopra l'inizio o la fine delle scale fondamentali C o D.

La scala dei valori reciproci
La scala CI è suddivisa come le scale fondamentali C e D, va in direzione opposta da destra a sinistra ed è cifrata in rosso onde evitare errori di lettura.
Se si imposta il corsoio su un qualsiasi valore della scala x nella scala C si può leggere il suo valore reciproco 1/x nella scala CI

Le scale A,B e K
Se si pone l'indice del corsoio su un qualsiasi valore x della scala C, si può leggere sulla scala B  il quadrato x^2 e sulla scala K il cubo x^3.
In ordine inverso si ottengono le radici quadratiche e cubiche.

La scala pitagorica P
Ad ogni impostazione  x sulla scala fondamentale D, corrisponde sulla scala P il valore y = sqr (a-x^2)

Le funzioni trigonometriche
Tutte le funzioni trigonometriche sono riferite alla scala base D, e i valori angolari sono indicati nella graduazione 360° con ulteriore suddivisione decimale.
Per ogni impostazione di un angolo nella scala S, T1 o T2 la funzione goniometrica viene letta nella scala D. Procedendo inversamente, per ogni impostazione del valore della funzione nella scala D, si ricava l’angolo nelle corrispondenti scale goniometriche.
La numerazione degli angoli delle scale S, T1 e T2 suddivise decimalmente vale solo per i valori degli angoli indicati.
Il regolo calcolatore dà soltanto le funzioni per gli angoli del primo quadrante.

La scala dei seni S,
va da 5,5° fino a 90° e per i valori del coseno essa è numerata in rosso in senso contrario da 0° a 84,5°. Tutti i valori di seno e coseno letti sulla scala fondamentale cominciano con 0, .
I valori del seno per angoli x > 45° si ottengono in modo più preciso ricorrendo alla scala numerata in rosso P, in base alla relazione x =sqr(1-cos^2(x)) .
Per l’impostazione degli angoli si usano le cifre rosse della scala S.
Regola del colore per le funzioni di seno : impostare e leggere sempre sulle scale dello stesso colore.
Poiché cos x = sqr(1 – sen^2 x), per  i valori del coseno degli angoli x < 45° valgono analoghi rapporti relativi alla regola del colore: a ogni impostazione nella scala S corrisponde la lettura di colore opposto sulla scala D o P.

Le scale delle tangenti T1 e T2
La scala delle tangenti è composta da due parti. T1 per gli angoli da 5,5° a 45° e T2 per quelli da 45°  a 84,5°.
Per gli angoli impostati nelle scale delle tangenti si leggono i relativi valori nella scala D.

La scala ST
Questa scala è la continuazione delle scale S e T, e si usa per determinare sen x  e  tg x  per x <  5,5°, oppure per cos x  e cot x per x > 84,5°; in questi casi si può usare l’approssimazione:
sen x = tg x = cos (90° - x) = ctg(90° - x) = arc x = pi/180° = 0,01745 ?
La scala trigonometrica ST, che va da 0,55° fino a 6°, da valori esatti per le misure ciclometriche e rende possibile la simultanea lettura dei  seni, delle tangenti e degli archi sulla scala fondamentale D.
La numerazione rossa retroversa della scala ST da 84° fino a 89,45°, viene impiegata per i corrispondenti valori di coseno e cotangente.
Tale scala inoltre risolve il compito della conversione dei gradi in radianti. Questa conversione si effettua con una impostazione del corsoio, perché la scala ST è una scala fondamentale sfalsata rispetto a D di pi/180°. Nel passaggio da ST a D una misura in gradi si trasforma in una misura in radianti, e viceversa.

Le scale esponenziali
Con le scale esponenziali si possono ridurre i problemi di elevazione a potenza ed estrazione di radice a un’addizione o sottrazione di segmenti. Entro l’intervallo si possono calcolare potenze, radici e logaritmi qualsiasi.

Potenze Y = a^x
y=e^x si ottiene come caso speciale della posizione completamente chiusa della scorrevole, giacché è impostato come base il numero e=2,718.
Ma  poiché la scala D possiede stabilmente tale impostazione rispetto alle scale esponenziali LL, per tutte le potenze  è sufficiente impostare l’esponente col corsoio sulla scala D e leggere le potenze sulla scala LL.

Radici a= y^(1/x)
Procedimento :
1) contrapposizione del radicando y sulla scala LL e dell’esponente della radice x sulla scala dello scorrevole C.
2) lettura del valore della radice sotto l’inizio o la fine dello scorrevole sulla corrispondente scala LL.

I logaritmi decimali
Se si imposta l’ 1 della scala C sulla base 10 nella scala LL3, si può leggere su ogni numero impostato sulla scala LL il logaritmo decimale nella scala C.

I logaritmi naturali
I logaritmi naturali della base “e” di determinano semplicemente con il passaggio dalle scale esponenziali alla scala fondamentale D.
 

01- Introduzione
Come calcolare a mente il giorno della settimana di una data qualsiasi.Si chiama calendario perpetuo il procedimento che permette di calcolare in quale giorno della settimana cada una qualsiasi data stabilita.Tramite un computer, conoscendo l'esatto sistema con cui viene generato il calendario, si può elaborare con facilità un programma che dia istantaneamente il risultato. Esistono inoltre numerose tabelle, abbastanza complicate, che permettono di ottenere il giorno seguendo un particolare procedimento, ma per svolgere il calcolo a mente il compito si rivela a prima vista decisamente difficile, soprattutto perchè il nostro calendario è tutt'altro che semplice.Qui di seguito viene esposto un metodo (tratto da www.supereva.com) mentale per eseguire la suddetta operazione, basato sull'aritmetica modulare. Appreso il procedimento, con un po' di esercizio, basteranno appena una decina di secondi per rispondere alla domanda "Che giorno della settimana era il 27/5/1765?" Naturalmente esistono altri metodi differenti da quello qui descritto, forse anche più semplici, ma questo sembra ben impostato e relativamente facile da comprendere.

02- Le regole del calendario
Per applicare il procedimento è importante capire bene come è articolato il nostro complesso calendario.Fino al 1582 si contavano gli anni secondo il calendario Giuliano, che prescriveva di assegnare 366 giorni anzichè 365 agli anni divisibili per 4. Fu scoperto, però, che la lunghezza effettiva degli anni è leggermente superiore ai 365 giorni e 6 ore che prevedeva il calendario Giuliano. Il vero anno è lungo circa 11 minuti e 14 secondi in più, che propagati nei quindici secoli precedenti portano ad un errore tuttaltro che rilevante. Per questo il Papa Gregorio, nel 1582 decise di cambiare le regole del calendario per "riparare" l'errore temporale che ammontava ormai ad una decina di giorni. In questo modo, eliminando i giorni "sbagliati" che non avrebbero dovuto esserci, aveva fatto seguire al 4 ottobre del 1582 il 15 ottobre, stabilendo inoltre le nuove regole: · Un anno comune ha 365 giorni · Un anno divisibile per 4 ne ha 366 (è bisestile) · Un anno divisibile per 100 non è considerato bisestile · Un anno divisibile per 400 è invece considerato bisestile Il metodo per il calcolo del giorno della settimana di una data qualsiasi è completamente differente se se in quella data si utilizzava il calendario Giuliano e quello Gregoriano. In questa sezione si analizza il calendario Gregoriano, più utile in quanto è quello dei nostri giorni. 

03- L'aritmetica modulare
Sebbene non molto nota, ne abbiamo a che fare tutti quando guardiamo l'orologio o contiamo sulle dita di una mano.Aritmetica modulare: la parola sembra difficile, ma in realtà, il concetto e familiare a tutti. Se ad esempio ti chiedo: "Dove sarà la lancetta dei minuti del tuo orologio fra 1 ora?", o "Che ora sarà fra esattamente 48 ore?", o ancora "Che giorno della settimana sarà fra 3 settimane?". La risposta è sempre la stessa, cioè che tutto resterà proprio com'è adesso. In matematica la proprietà di essere nella stessa condizione dopo un intervallo fisso è detta congruenza modulo n. Quindi i minuti sono congruenti modulo 60, le ore modulo 24, i giorni della settimana modulo 7. La proprietà principale delle congruenze modulo n è che si possono applicare per semplificare le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione: di quanti minuti si sposta la lancetta dei minuti se passano 65 minuti? Di 5 minuti, ed il risultato si può ottenere dall'operazione mod: 65 mod 60 = 5. L'operazione a mod b significa: qual è il resto della divisione fra a e b? Un ultimo esempio per chiarire il concetto, applicato proprio all'argomento in questione: "Che giorno della settimana sarà fra 49, 71, n giorni?" Basta risolvere i calcoli modulo 7: 49 mod 7 = 0, quindi sarà lo stesso giorno che è oggi; 71 mod 7 = 1, quindi sarà lo stesso giorno di domani; in generale n mod 7 dice di quanti giorni mi devo spostare da oggi per avere il risultato. Ora puoi iniziare ad apprendere il procedimento: avrai bisogno di imparare a memoria alcuni dati (possono bastare anche solo 12 valori per i mesi!), ma non scoraggiarti, perchè alla fine la soddisfazione sarà notevole! 

04- Introduzione al procedimento
-----Il procedimento si basa completamente sulle regole fondamentali dell'aritmetica modulare. In particolare è importante ricordare che si può aggiungere o sottrarre ad un numero (in un modulo k qualsiasi) qualunque multiplo di k stesso. Per il caso del calendario, essendo 7 i giorni della settimana, si lavora quindi in aritmetica modulo 7. Associamo fin dall'inizio ogni risultato modulo 7 ad un giorno della settimana: 

In questo modo qualsiasi numero può essere ricondotto ad un giorno della settimana. Ad esempio 47 è Venerdi, perchè 47 mod 7 = 5 (perchè 47 diviso per 7 fa 6 con resto 5), e 5 è Venerdi. Ancora 34 è Sabato perchè 34 mod 7 = 6. Premesso questo, si può dividere il calcolo in due parti: nella prima si determina a quale giorno della settimana corrisponde una data gg/mm di un ipotetico anno che inizi di Lunedì (quindi con Lunedi 1 Gennaio), e nella seconda si determina con quale giorno inizia effettivamente l'anno. 

05- Prima parte (a)
-----Per determinare a quale giorno della settimana corrisponde una data, occorre anzitutto vedere con che giorno inizia ogni singolo mese di un ipotetico anno che inizia per Lunedi. Una tabella riassuntiva ci può essere molto utile: 

A questo punto occorre memorizzare i 12 numeri relativi ad i mesi (richiede veramente pochissimi sforzi), e per ottenere il giorno della settimana in cui cade la data gg/mm, con il 1 gennaio Lunedi, basterà fare la somma gg + N(mm) e ridurla modulo 7. Questo perchè il numero relativo ad ogni mese rappresenta il "giorno 0" di quel mese, e quindi ogni giorno in più aggiunto ad esso fornisce il vero giorno della settimana della data. Bisogna sempre ricordare inoltre che se l'anno è bisestile, nel caso il mese in questione sia da Marzo in poi, occorre aggiungere 1 al valore. Ad esempio, per conoscere il giorno in cui cade il 24 Settembre di un anno che inizia per Lunedi, basta fare: 24 + N(settembre) = 24 + 5 = 29 = 1 (mod 7). Quindi il 24 Settembre di quell'anno è Lunedi. 

06- Prima parte (b)
-----Una volta imparati a memoria questi numeri relativi ai mesi e conoscendo con che giorno inizia l'anno, è veramente semplice determinare in pochi istanti la data. Il calcolo può essere velocizzato ulteriormente utilizzando immediatamente anzichè il giorno del mese, il suo valore modulo 7. Ad esempio, per calcolare il giorno in cui cade il 24 Settembre di un anno che inizia per Lunedi, basta fare (24 mod 7) + (5) = 3 + 5 = 8 mod 7 = 1, ovvero Lunedi. Mentalmente questi passaggi, con un po' di allenamento, diventano istantanei, e quindi è bene utilizzare i trucchetti dell'aritmetica modulare fin dall'inizio. Per chi volesse fermarsi a questo punto, riporto in una tabella i valori che bisogna addizionare al numero ottenuto per avere valori corretti, limitati agli anni più vicini al nostro: l'operazione da fare per ottenere il giorno della data gg/mm/aaaa risulterà quindi gg + N(mm) + K(aaaa) mod 7.

Per fare un esempio, per calcolare che giorno è il 26/7/2000, basta fare (26) + (6 + 1) + (5) (l'1 è aggiunto perchè l'anno è bisestile), che risolto a mente può semplicemente essere fatto così: 5 -1 +1 +5 = 10 = 3, quindi è Mercoledi. Il 14 Marzo 1997 invece era un Venerdi perchè 0 + 3 + 2 = 5. 

07- Esercizi sulla prima parte
-----Prova a calcolare in che giorno della settimana cadono queste date (le soluzioni sono in fondo): · 27/5/1998 · 12/10/2004 · 7/1/2000 · 14/2/1996 · 31/12/1999 Allora, sei riuscito a calcolare queste date in meno di 10 secondi? Ti sei ricordato di aggiungere 1 negli anni bisestili, se la data è dal mese di Marzo in poi? Bene, ora controlla i tuoi risultati con quelli qui sotto: | | V V Ecco le soluzioni: · Mercoledi · Martedi · Venerdi · Mercoledi · Venerdi 

08- Seconda parte (a)
-----Scopo di questa seconda sezione è di conoscere il giorno della settimana del 1 Gennaio di ogni anno. Per la precisione sarà utile ottenere l'ipotetico giorno 0 Gennaio, infatti sommando ad esso (analogamente a come era stato fatto fra mesi e giorni) il numero già trovato si ottiene direttamente il risultato. Anche a questo punto occorre fare un'altra separazione (ma è l'ultima), infatti conviene sapere con che giorno della settimana inizia il centenario in questione e poi aggiungere il resto. La parte relativa al centenario è decisamente facile, infatti, secondo il calendario Gregoriano i possibili giorni iniziali sono solo quattro, e si ottengono dal risultato modulo 4 del centenario secondo questa regola: 

I centenari bisestili sono particolari (compaiono due valori), perchè durante gli stessi viene aggiunto un giorno. Per questo, si userà il 5 solamente per le date del centenario esatto (1600, 2000, 2400), mentre si userà il 6 per tutte le altre (1601, 1602, 2001, ...). A questo punto siamo veramente ad un passo dall'apprendimento del metodo per determinare il giorno della settimana di una data qualsiasi: manca ormai solo la determinazione della costante relativa alle ultime due cifre dell'anno. 

09- Seconda parte (b)
-----Per quanto riguarda l'anno del secolo il calcolo è un po' più complesso, in quanto la serie di giorni di inizio anno, essendoci un bisestile ogni 4, si ripete ogni 28 anni. Per questo motivo, la prima cosa da fare è ridurre l'anno modulo 28 (basta sottrarre ogni volta 30 ed aggiungere 2, finchè non si ottiene un numero minore di 28). A questo punto, dato l'anno aa mod 28, basta eseguire l'operazione: aa + [(aa - 1) / 4] mod 7 dove [(aa - 1) / 4] è la parte intera della divisione di aa-1 per 4. Per ottimizzare il calcolo sarebbe opportuno imparare a memoria questi 28 valori, che sono:

A questo punto abbiamo tutte le informazioni per ottenere il giorno della settimana di qualsiasi data appartenente al calendario Gregoriano. I calcoli presentati possono apparire al primo impatto difficili da eseguire a mente, ma basta un po' di pratica per sbrigarli in pochi secondi, ricordando che in qualunque punto della somma dei valori, per semplificare i calcoli, si può sottrarre il numero 7. 

10- Ricapitolazione procedimento
-----Ecco qui un semplice schemino riassuntivo del procedimento mentale da eseguire per calcolare il giorno della settimana della data gg/mm/AAaa: · Calcolare il valore G relativo al giorno del mese, ovvero gg mod 7 · Calcolare il valore N(mm) relativo al mese · Calcolare il valore K relativo all'anno K(aa) · Calcolare il valore C(AA) relativo al centenario · Stabilire con le regole del calendario se l'anno è bisestile, e se lo è porre B = 1, altrimenti B = 0 · Il giorno della settimana è G + N + K + C + B

11- Ricapitolazione tabelle
-----Tabella relativa alla determinazione della costante del mese 

Tabella relativa alla determinazione della costante dell'anno (ultime due cifre ridotte modulo 28) 

Tabella relativa alla determinazione della costante del secolo 

12- Esempi (i)
-----1) Data da cercare: 22/11/1982G = 22 mod 7 = 1N(11) = 3K(82) = K(82 mod 28) = K(26) = 26 + [25/4] mod 7 = -2 + 6 = 4C(19) = 0L'anno non era bisestile, quindi facendo la somma dei valori si ha:(1 + 3 + 4) mod 7 = 1Il giorno della settimana era quindi Lunedi. 2) Data da cercare: 1/3/1624G = 1N(3) = 3K(24) = 24 + [23/4] mod 7 = 3 + 5 mod 7 = 1C(16) = 6 (sarebbe 5 solo se ci trovassimo nel 1600 esatto)L'anno era bisestile, quindi occorre aggiungere 1 alla somma dei valori:1 + (1 + 3 + 1 + 6) mod 7 = 5, ovvero Venerdi. 

13- Esempi (ii)
-----3) Data da cercare: 27/8/2193G = 27 mod 7 = -1N(8) = 2K(93) = K(93 mod 28) = K(9) = 9 + [8/4] mod 7 = 2 + 2 = 4C(21) = 4L'anno non è fra i bisestili, quindi facendo la somma dei valori si ha:(-1 + 2 + 4 + 4) mod 7 = 2Il giorno della settimana sarà quindi Martedi. 4) Data da cercare: 12/5/1958G = 12 mod 7 = -2N(5) = 1K(58) = K(58 mod 28) = K(2) = 2C(19) = 0L'anno non era bisestile, quindi la somma dei valori è:(-2 + 1 + 2) mod 7 = 1, ovvero Lunedi. 

14- Esercizi
-----Prova ad esercitarti calcolando il giorno della settimana di queste 5 date: · 14/6/1921 · 30/9/2354 · 11/1/2111 · 14/2/4124 · 29/2/2000 Le soluzioni sono nella prossima pagina... 

15- Soluzioni
-----Ecco le soluzioni dei cinque esercizi: · 14/6/1921 --> Martedi · 30/9/2354 --> Giovedi · 11/1/2111 --> Domenica · 14/2/4124 --> Lunedi · 29/2/2000 --> Martedi A questo punto hai appreso appieno il procedimento per il calcolo della data, ma per riuscire ad eseguire le operazioni in tempi brevi ti occorrerà ancora parecchio allenamento. 
 

Persa la calcolatrice? Ti scappa lo stesso di estrarre una radice quadrata, ecco alcuni esempi:

= 13 1.69  |13    1     |23x3=69 0 6.9 |   6.9 |     0 |	= 25,3969... 6.45      |25,39    4         |46x6=276 24.5      |45x5=225  225      |504x4=2016   200.0   |503x3=1509   159.1   |5069x9=45621    4910.0 |    4562.1 |      3479 | 645=25.392+.3479=644.6521+.3479
= 30,36445...     9.22      |30,364    9         |60x0=0 02.2      |603X3=1809    0      |6066X6=36396  220.0    |60724X4=242896  180.9    |   3910.0  |   3639.6  |    27040.0|    24289.6|      27504| 922=30.3642+.027504	= 13,1529... 1.73      |13,152    1         |23x3=69 07.3      |261X1=261  6.9      |2625X5=13125   40.0    |26302X2=52604   26.1    |   1390.0  |   1312.5  |     7750.0|     5260.4|      24869| 173=13.1522+.024869
=27,1 7.34,41   |27,1    4         |49x9=441 33.4      |48x8=384 32.9      |47X7=329    54.1   |541x1=541    54.1   |       0   |	=445 19.80.25  |445    16        |84x4=336  38.0     |885x5=4425  33.6     |    442.5  |    442.5  |        0  |
=72,8 52.99,84  |72,8    49        |142x2=284  39.9     |1448X8=11584  28.4     |   1158.4  |   1158.4  |        0  |	= 96 92.16 |96    81    |186x6=1116 111.6 | 111.6 |     0 |
= 2,84024... 8,06.70.00  |2,840   4           |49x9=441 40.6        |48x8=384 38.4        |564X4=2256   227.0     |5680x0=0   225.6     |      140.0  |          0  |      140.0  | 8,067=2.842+.001400	= 2,12884... 4,53.20.00  |2,128    4           |41x1=41 05.3        |422x2=844  4.1        |4229X9=38061   122.0     |4228X8=33842    84.4     |    3760.0   |    3382.4   |      3776   | 4.532=2.1282+.003776

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