El voto batracio

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El valor de PI (segunda parte)

Método de pendientes.

Este método no está desligado de los polígonos. Ahora simplemente recordamos que los ángulos del polígono que estudiamos tienen una pendiente.

Una recta y = mx + b donde m = 1 y b=0 formará una abertura de 45° con respecto al eje de las x (abcisas).

Si se determinan los lugares geométricos de un círculo unitario con centro en el origen y una recta de la forma y = mx +b donde b=0, la circunferencia y la recta se intersectarán en dos puntos. Considerando el cuadrante positivo del plano cartesiano, podemos determinar la distancia comprendida entre la intersección circunferencia-eje y circunferencia-linea.

Esta distancia estaría dada por la siguiente ecuación:

(3)

Noten el parecido de ésta con la ecuación (2).

Si tenemos una recta con una pendiente conocida podemos hallar una segunda pendiente n que generaría una recta que bisectara el ángulo formado por el eje de las x y la recta original.

Para obtener n formulé la siguiente ecuación.

(4)

Luego de que tenemos nuestra fórmula para obtener la pendiente de la bisectriz del ángulo y la distancia ya expuesta.

En un círculo de radio 1 el perímetro será 2×PI.

Algebraicamente:

2 PI = Longitud [ec. (3)] × No. de lados del polígono.

Despejando PI:

(5) PI = Longitud [ec. (3)] × (Número de lados) / 2

Comprendo que toda esa explicación es muy enredada, pero para ello voy a ser más claro con un ejemplo.

Tomemos la pendiente de un ángulo de 45 grados: es igual a 1. Además, cabe 8 veces en un giro de 360 grados, por lo que un polígono regular con dicha abertura en sus ángulos centrales tendrá igualmente ocho lados.

En la figura vemos que la recta verde A tiene una pendiente de 1 y el ángulo que forma con el eje de las abcisas es 45 grados, mientras que la recta azul B es una bisectriz del ángulo A-origen-D, cuya apertura con respecto al eje de las abcisas es de 22.5 grados.

La distancia del punto C al punto E es igual, en un círculo unitario, a 0.7653668... Considerando que la apertura entre eje de las abcisas y la recta A es de 45 grados sabemos que formará un octágono.

Aplicando la ecuación (5) tenemos que:

PI = 0.7653668... × (8)/2

PI = 3.0614674...

Y esta sería nuestra aproximación de PI con un octágono.

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