El voto batracio

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El valor de PI (primera parte)

Todo apunta al hecho de que fue Pitágoras el que descubrió que PI era un número irracional. Y por si fuera poco, también es trascendental, lo que se traduce en un valor con un número indeterminado de cifras decimales y que no es raíz de ninguna función polinómica con coeficientes enteros. En realidad, es lo que se llama "fracción continua"

También Arquímedes estudio a PI e igualmente obtuvo que valía entre 3 10/70 y 3 10/71.

Lo que Arquímedes realizó para conocer el valor de PI fue construir un polígono del mayor número de lados posibles, a fin de medir su perímetro y hallar el cociente entre éste y el diámetro del círculo en el que estaba inscrito. Se quedó en 96 lados para encontrar los dos primeros decimales de PI.

Otros matemáticos experimentaron con polígonos, pero este método resulta inconveniente puesto que implica una medición que es falible. Empezaron a trabajar entonces en una ecuación o serie que diera el valor de PI.

Después de saber esto tuve curiosidad de entender como obtuvieron esas series.

Primero, intenté con los polígonos.

Método del polígono.

Si suponemos que un polígono está formado por una serie de triángulos isóceles, tendremos que un ángulo de esos triángulos será igual al cociente de 360 grados y el número de lados.

En un pentágono tenemos 5 triángulos isóceles en donde un ángulo de cada uno de ellos mide 360/5=72 grados.

Lo que nos interesa es conocer el lado opuesto a este ángulo conocido.

Utilizando trigonometría sabemos que:

donde l es la longitud de un lado del polígono, r es el radio de la circunferencia (que es igual a 1/2) y alfa es el ángulo que utilizaremos para aproximar.

Luego l=2r, de donde

por lo tanto deducimos que:

Hemos llegado a una ecuación para aproximar PI. Se utiliza dando un valor arbitrario a alfa, y entre menor sea este valor mayor será la aproximación a PI.

Sin embargo, esta ecuación no es muy útil puesto que involucra otro valor que no es posible determinar de manera simple: el coseno.

Tratando de simplificar la expresión recurrí a la siguiente figura:

En un círculo de radio 1 inscribimos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa también es 1. La recta pintada en verde es el seno del ángulo central cuyo vértice se halla en B y la recta roja es el coseno.

Deducimos entonces que: CD=1-cosa.

Así mismo:

.

Ahora, si multiplicamos la longitud del segmento AD por el cociente de 180 grados entre alfa tenemos:

Pero no. No pude eliminar otra vez los cosenos.

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