El voto batracio

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El número de oro y la serie de Fibonacci

Supongo que conocen la serie de Fibonacci...

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...

cuyo siguiente término es la suma de los dos anteriores y su tendencia al número de oro en los cocientes de un miembro de la progresión y su predecesor.

Bien, pues he aquí que la ecuación para cualquier elemento n de la serie es:

Fib(n) = {Phiⁿ-[(-1)ⁿ/Phiⁿ]}{5^-1/2}

Siendo Phi igual a:

f = 1.6180339...

Ahora una forma de calcular el número de oro Phi. Consideremos un rectángulo de ancho x+y y alto y:

Podemos formular que para la proporción áurea:

(x+y)/(y) = (y)/(x)

Despejando y reagrupando términos

x² + xy - y² = 0

Haciendo que y = 1 y resolviendo por la solución general de ecuaciones de segundo grado:

x = {-1 ± [1 - 4(1)(-1)]^1/2}/{2(1)}

Descartando la raíz negativa entonces x = Phi - 1 y Phi resulta:

Phi = [(5^1/2-1)/2] + 1

También podemos llegar a Phi por su fracción continua:

x = 1 +     1
       -----------
       ***************
       *1 +   1      *
       *   -------   *
       *    1 + 1 ...* 
       ***************

Si consideramos a la parte encerrada entre asteriscos como igual a x entonces queda:

x = 1 + 1/x

x - 1 = 1/x

x² - x = 1

x² - x - 1 = 0

Y esa ecuación tiene como raíces a Phi y -1/Phi.

Encontré otra definición un poco artificiosa, pero que posiblemente relacione a PI con Phi. Esta es:

Sea f(x)=(1 - x²)^1/2. Entonces Phi es un número tal que f '(-1/Phi)=f(-1/Phi).

Algo interesante: el recíproco de Phi es igual Phi - 1. Y es comprobable que exactamente:

1/(2Phi) = cos (72°)

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