El voto batracio

Mente Matemática

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Peculiaridades del conjunto vacío

En mi clase de Álgebra, definimos una relación de equivalencia como una relación:

• Reflexiva.
• Simétrica.
• Transitiva.

Y hasta ese punto no había ningún problema. Lo hubo cuando a mi profesora se le ocurrió preguntarme:

"Sin embargo, basta que una relación sea simétrica y transitiva para ser de equivalencia, pues, si aRb, por simetría bRa. Ahora, por transitividad, aRa. Luego la relación es reflexiva. ¿Cuál es el error de esta afirmación?"

A simple vista parece que el razonamiento es impecable. Si alguien conoce a fondo el conjunto vacío, ya habrá notado el error.

Al momento de analizar la afirmación, por supuesto dudaba de su veracidad. Con todo, la forma de presentarla me pareció muy convincente. Traté de construir un contraejemplo pero, por más que lo intentaba, no lo conseguía.

Platicando sobre el problema con otro profesor, le dije que había tratado de encontrar la relación más sencilla que no cumpliera con la proposición. Entonces descubrí mi yerro: no consideré a la relación vacía.

Sin embargo, la afirmación es verdadera siempre y cuando se establezca que la relación a considerar no es vacía.

En la teoría de conjuntos tradicional se sabe que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. Una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos, digamos A y B (no excluímos con esto que A=B). Si en la relación existe el par ordenado (a,b) con a elemento de A y b elemento de B, se dice que aRb. En virtud de que la relación es un subconjunto de AxB, entonces el conjunto vacío también es una relación.

En cierto modo, esto desafía a mi sentido común, ya que me dice que dos cosas pueden "estar relacionadas no estando relacionadas". Esto me condujo a un serio error al presentar un examen. Se me cuestionaba:

"Se define 'aRb si y sólo si a>b y b>a'. ¿Es R una relación de equivalencia?"

Yo argumenté, olvidando nuevamente a la relación vacía, que esta relación ni siquiera existía, y aún menos era de equivalencia. La respuesta es correcta al decir que no es una relación de equivalencia, pero la razón de esto es que la relación es vacía. Acepto el hecho, pero me deja perplejo.

Independientemente de tales asuntos, vemos que la relación vacía es simétrica y transitiva, pero no reflexiva. La prueba de tal hecho es simple, pero un poco larga. No la presentaré aquí.

Sabiendo todo esto presentaré un último hecho relacionado. En un ejercicio de Geometría, se me preguntaba:

"¿Es un punto un conjunto convexo?"

Un conjunto es convexo si, para dos puntos arbitrarios y distintos en él, se cumple que el segmento que los une es un subconjunto del conjunto dado. Si se tiene algo de intuición geométrica, parecerá que un punto no lo es.

Si encontramos un segmento que no cumpla con la definición, entonces podremos decir que un punto no es un conjunto convexo. El problema es que el conjunto de los segmentos de un punto es vacío. Entonces no podemos presentar alguno que no satisfaga la definición. No tenemos otra opción mas que afirmar que un punto es un conjunto convexo.

De manera análoga se demuestra que la relación vacía es simétrica y transitiva.

Estas sutilezas que se presentan en el estudio de las Matemáticas son entretenidas, a la vez que recuerdan que no debemos desechar todas las posibilidades (aún las más descabelladas) al momento de resolver un problema. Vale advertir que esto puede resultar un problema agotador en sí mismo.