El voto batracio

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Trazando una parábola

Alguna vez leí que es posible trazar un conjunto de rectas que envuelven a una parábola de la siguiente forma:

Se toma un punto arbitrario P₁ y una recta L₁ que no contenga a dicho punto. Con otra recta L₂ se unen L₁ y P₁. En el punto P₂ donde concurren L₁ y L₂ se traza una perpendicular a L₂. Las perpendiculares obtenidas de ese modo envuelven a una parábola. O al menos eso parece.

Comprobaremos que así es.

Por simplicidad, vamos a considerar una parábola de la forma:

(1) y² = 2px.

De esta manera, nuestra recta va a ser el eje de las ordenadas, es decir, x=0. Nótese que no es la directriz, pues al trazar las perpendiculares con el método que hemos descrito la parábola toca a la recta en la que se apoya, cosa que no ocurre con la directriz. El foco de la parábola (el punto arbitrario) tiene por coordenadas (0,p/2).

Ahora bien, la recta que pasa por este punto con una pendiente m es:

(2) y = m(x-p/2).

De donde es evidente que corta a la recta x=0 en el punto (0,-mp/2). La perpendicular a (2) en este punto es:

(3) y = -(1/m)x-(mp)/2.

Sustituyendo a (3) en (1) y reagrupando, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

(4) (1/m²)x²-px+(m²p²)/4

cuyo discriminante es:

D = (-p)²-4[1/m²][(m²p²)/4] = 0.

Por tanto (4) sólo tiene una solución real. Esto implica que (3) corta a (1) en solamente un punto, es decir, es una tangente. La primera parte esta completa, pues ya comprobamos que toda recta trazada de este modo tocará a la parábola en un punto únicamente. Pero aún debemos corroborar que para todo punto de la parábola su tangente puede ser trazada de esta manera.

La tangente a una parábola en un punto (x₀,y₀) es:

(5) y = (p/y₀)(x-x₀)+y₀.

Intercepta a x=0 en el punto (0, y₀/2) según (1) con x=x₀. La perpendicular a (5) en dicho punto sale:

(6) y = -(y₀/p)x+y₀/2,

que intercepta a y=0 precisamente en x=p/2. Esto termina nuestra comprobación.

Vean ahora una parábola construida de esta forma:

La generé con MSW LOGO. Reproduzco ahora el código del programa. Lo sorprendente es que es relativamente corto. Por eso me agrada LOGO, es muy potente para realizar dibujos.

to parabola :arg :rep
setheading 0
repeat :rep [setheading 0 rt (repcount-1) make "av :arg/cos 
heading pu fd :av pd rt 90 fd 500 bk 500 lt 90 pu bk :av pd]
end

El argumento :arg es la distancia del punto a la recta. En el programa la recta es horizontal y el punto está por debajo de la recta. El argumento :rep es el número de grados que debe barrer la tortuga en su rotación alrededor del punto. Lo que a mí me extrañó un poco al momento de ejecutar el programa es que la tortuga puede efectuar una revolución completa sin ningún problema.