El voto batracio

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Fracciones continuas y números trascendentes.

Los números Pi, Phi y e son importantes en la geometría, las proporciones perfectas y las formas de crecimiento y el azar respectivamente.

Su relación es estrecha. Los tres pueden representarse como una fracción continua que tiene la forma general más simple:

x = a0  +       1
         ________________
         a1 +     1
             ____________
             a2  +   1
                   ______
                   a3 + ...

Nota: los números frente a las letras son subíndices.

Tienen la notación abreviada x = [a0, a1, a2, a3, ...], la cual indica los valores que deben sustituírse en la forma general expresada arriba. Por ejemplo x = [1, 1, ...] es la expresión de Phi.

Se pueden obtener los números de la fracción continua por este procedimiento:

1. El primer número de la fracción continua es evidentemente la parte entera de x. En el caso de Pi, por ejemplo, el 3 es el primer número.
2. Se resta el primer número a x y se calcula el recíproco de la diferencia. En el caso de Pi 3.141592... - 3 = 0.141592... y el recíproco de esta fracción decimal es 7.0625133... Por lo tanto el segundo número de la fracción continua es 7 y el decimal a considerar para el próximo paso es 0.0625133...
3. Con la fracción que obtenemos repetimos el procedimiento. Para Pi el recíproco de 0.0625133... es 15.99659... Por lo tanto el tercer número de la fracción continua es 15 y el decimal para la siguiente iteración es 0.99659...

Con este procedimiento la fracción continua simple para Pi resulta [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2...]

Investigando, pues, encontré las siguientes fracciones continuas:

PI/2 = 1 -             1
           ___________________________
            3 -           2(3)
                ______________________
                 1 -        1(2)
                     _________________
                     3 -      4(5)
                         _____________
                         1 -    3(4)
                             _________
                              3 - 5(6)...

e = 2 +             1
         ___________________________
         1 +           1
             _______________________
             2 +         2
                 ___________________
                 3 +       3
                     _______________
                     4    +  4 ...

e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 1, 10...]

Estas fracciones, sin embargo, sólo son útiles como una representación, pues convergen muy lentamente.

No me es posible por el momento indicar de qué forma trasformar una fracción continua simple que no tiene un patrón recurrente (y que son las de números trascendentes) en una que sí lo tenga (dejando de ser simple, evidentemente)

Es interesante notar, sin embargo, que las raíces no enteras de los números naturales positivos siempre tienen un patrón recurrente.

  __       _
\/2  = [1, 2]
  __       ____
\/3  = [1, 1, 2]
  __       _
\/5  = [2, 4]
  __       ____
\/6  = [2, 2, 4]

etc...