El voto batracio

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Ecuación de la recta

Forma punto-pendiente

La pendiente (m) es la proporción de los incrementos entre la variable dependiente e independiente en una función lineal. Se puede interpretar igualmente como la tangente del ángulo que existe entre el eje de las abcisas y la recta.

m = (y₁ - y₂)/(x₁ - x₂)

En esta forma de la ecuación se considera un punto cualquiera (x,y) de la recta, un punto en particular (x₁,y₁) y la pendiente (m).

y - y₁ = m(x - x₁)

Forma pendiente-ordenada en el origen.

Toda recta, además de una pendiente, intersecta a los ejes coordenados con las siguientes condiciones:

• Una recta cuya pendiente no es nula ni indeterminada puede intersectar ya sea en el origen o en dos puntos diferentes a los ejes coordenados.
• Si la pendiente de la recta es 0 entonces corta al eje de las ordenadas en un punto y es paralela al eje de las abcisas.
• Si la pendiente es indeterminada la recta corta al eje de las abcisas en un punto y es paralela al eje de las ordenadas.

En este caso consideraremos la intercepción en el eje de las ordenadas, cuyo valor se denota con la literal b, un punto cualquiera (x,y) dentro de la recta y la pendiente (m).

y = mx + b

Si b es igual a 0 la recta pasa por el origen.

Forma simétrica

La forma simétrica contempla a los dos puntos de intercepción de la recta en los ejes coordenados. Es válida mientras la recta no pase por el origen. De ser así, la ecuación se indeterminaría.

Se requieren: la ordenada en el origen (b), la abcisa en el origen (a) y un punto cualquiera (x,y).

(x/a) + (y/b) = 1

Forma general

La forma general esta compuesta de dos términos lineales, uno independiente y los menores coeficientes enteros A y B.

Ax + By + C = 0

Donde:

• A = b = b/a = -m
• B = a = a/a = 1
• C = -ab = -ab/a = -b

Si A y C resultan fraccionarios habrá que hacer las trasformaciones pertinentes.

Distancia de un punto a una recta

Se interpreta la distancia entre un punto (a,b) y una recta Ax+By+C=0 como la mínima que los separa, siempre y cuando el punto no pertenezca a dicha línea. Ésta resulta ser un segmento de recta perpendicular a la línea en cuestión. La longitud de tal segmento queda determinada por:

d = |Aa+Bb+C|/(A²+B²)^0.5

La deducción es la siguiente:

Si A=0 o B=0, no hay nada que demostrar.

Consideremos dos rectas adicionales: x=a e y=b. Advertimos inmediatamente que tales rectas se cortan en el punto (a,b) y, junto con la recta Ax+By+C=0, determinan un triángulo rectángulo.

Para calcular los catetos de dicho triángulo calculamos las intersecciones de x=a e y=b con Ax+By+C=0 y luego aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Ax+Bb+C=0

x=-(Bb+C)/A

Aa+By+C=0

y=-(Aa+C)/B

Las distancias resultan ser:

i=|Aa+Bb+C|/|A|

j=|Aa+Bb+C|/|B|

De la geometría euclidiana sabemos que la altura de un triángulo rectángulo que es diferente de los catetos i y j es:

d = ij/[(i²+j²)^0.5]

Aplicando esta fórmula y las distancias calculadas anteriormente tenemos:

d = (|Aa+Bb+C|/|A|)(|Aa+Bb+C|/|B|)/{[(|Aa+Bb+C|/|A|)²+(|Aa+Bb+C|/|B|) ²]^0.5}

Simplificando obtenemos la respuesta deseada.