El voto batracio

Mente Matemática

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Un problema de flujo

Sin enunciado, un día un maestro de mi escuela me propuso el siguiente problema.

Se tiene la siguiente sección transversal de una tubería.

La región negra es el agua. El radio de la tubería es r y la profundidad máxima perpendicular a la superficie del agua es p. La velocidad lineal del flujo es V.

El problema es calcular el gasto Q.

Con la ecuación Q = AV y puesto que la velocidad es dada, el problema se reduce a encontrar el área de la región negra del círculo.

Vamos a considerar que el área de un sector circular es igual a A = r2( t/2 ), donde t representa el ángulo que barre el sector en radianes. Por eso cuando t = 2p (2PI) el sector es todo el círculo y la fórmula se reduce a A = pr2.

El ángulo t aquí es igual a arc cos[(r-p)/r] y el área del triángulo de lados (r-p), d y r es (1/2)(d)(r-p). Pero d = [r^2-(r-p)^2]^1/2. De aquí se deduce que el área comprendida entre d, p y el círculo es:

A = r^2{1/2}{arc cos [(r-p)/r]}-[1/2][r^2-(r-p)^2]^1/2[r-p]

Pero esto sería sólo la mitad del área buscada. Haciendo que a = r-p ésta resulta:

A = r^2[arc cos (a/r)]- a[r^2-a^2]^1/2

Y si observan, hemos comprobado la siguiente integral:

Por que si en el problema conocemos d entonces:

A = r^2{1/2}{arc sen [d/r]}-d[1/2][r^2-d^2]^1/2