El voto batracio

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La espiral logarítmica

En un libro de Física encontré el siguiente problema:

"En los vértices de un triángulo equilátero de lado a se encuentran tres puntos. Empiezan a moverse simultáneamente con una velocidad v constante en módulo, con la particularidad de que el primer punto se dirige hacia el segundo, el segundo hacia tercero y el tercero hacia el primero. ¿Pasado qué tiempo los puntos se encontrarán?"

El problema me interesó mucho al principio y sabía que era muy fácil de resolver si lograba calcular la distancia que un punto recorría. Sin embargo, la curva era complicada y yo no lograba descubrir una función que la definiera y así poder aplicar la integral correspondiente.

De tanto estar dándole vueltas al problema me dí cuenta de que la longitud de la trayectoria podía calcularse con un simple límite, que fácilmente se generalizaba a cualquier número de puntos en un polígono regular.

Vamos a considerar que el lado del polígono mide una unidad y se divide en n partes siendo n un número entero. Supongamos que los puntos recorren una de esas n-ésimas partes como una aproximación de su trayectoria y que de esta manera quedan nuevamente en los vértices de un polígono regular, pero contraído.

Aplicando la ley de cosenos:

r² = (1/n)² + [(n-1)/n]² - 2[1/n][(n-1)/n][cos t]

r² = (n²-2n+2)/(n²) - 2(n-1)(cos t)/(n²)

r = [1/n][n² - 2(1 + cos t)n + 2(1 + cos t)]^1/2

Donde t = PI(1 - 2/n) radianes.

En esta ecuación r es la razón de el lado original de polígono con el nuevo lado una vez que los puntos han recorrido una aproximación, de acuerdo a una n establecida.

De esa manera, la distancia recorrida se representa por la suma infinita:

d = [1/n][1 + r + r² + ...]

Es convergente puesto que r < 1. Luego el límite de esta suma es:

d = [1/n][1/(1-r)]

Sustituyendo a r:

d = 1/{n-[n² - 2(1 + cos t)n + 2(1 + cos t)]^1/2}

Esta distancia sigue siendo aproximada. Para obtener la verdadera, n debe volverse infinita. Calculando el límite:

d = 1/(1 + cos t)

En el caso que nos interesa cos t = 1/2. Cada punto en el triángulo recorre 2/3 de la distancia que originalmente los separaba. Si fuesen cuatro puntos ubicados en un cuadrado recorrerían hacia el centro exactamente la distancia que los separaba.

Y a todo esto ¿qué tiene que ver este cálculo con la espiral logarítmica? Bien, leí en un libro de Martin Gardner que la curva que describen los puntos es una espiral logarítmica.

Intuitivamente nosotros vemos que la tangente a la trayectoria en cada punto mantiene un ángulo constante con el radio vector que lo concecta al centro del polígono. Aplicando el Cálculo se obtiene que la curva que satisface esta condición es, en su forma polar:

r = e^at ó ln r = at

Lo que explica porqué se llama logarítmica.