El voto batracio

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La base e de los logaritmos

Ésto está relacionado íntimamente con el Cálculo Diferencial e Integral. Es la cuestión de demostrar que:

2 < [(1/n) + 1]ⁿ < 3

lo que implica que:

2 < e < 3

¿Qué tiene que ver la función mostrada primero con el numero e? Bueno, pues que e es el límite de esta función cuando n se vuelve infinito.

Usando el binomio de Newton:

[1 + (1/n)]ⁿ = 1 + n{1/n} + {[n(n -1)]/[2!]}{1/n}² + {[n(n -1)(n -2)]/[3!]}{1/n}³ + ... + {[n(n -1)(n -2)...1]/[n!]}{1/n}ⁿ

[1 + (1/n)]ⁿ = 1 + 1 + [(1)-(1/n)][1/2!] + [(1)-(1/n)][(1)-(2/n)][1/3!] + ... + [(1)-(1/n)][(1)-(2/n)][(1)-(n-1/n)][1/n!]

El segundo término del desarrollo binomial es n{1/n} = 1, y sumado a la unidad inicial resulta dos. Cuando n se vuelve infinito, los demás términos son diferentes de cero pero menores que la unidad y convergen hacia un valor irracional menor que la unidad. Con esto demostramos que 2 < e < 3.

La relación que tiene e y los números que resultan de una criba es notable. Los primos, por ejemplo, obtenidos de la Criba de Eratóstenes, tienen una densidad d = n/ln(n). Esto significa que dado un límite n de números naturales, existe aproximadamente esa cantidad de primos en el intervalo (0, n]. Lo mismo sucede con los números llamados suertudos y otras clases de pseudoprimos.