El voto batracio

Mente Matemática

[ Principal | Música | Mente Matemática | Poesía | Filosofía ]

[ Vínculos | Correo | Ver/Firmar Libro de Visitas ]

Álgebra

Progresiones

Las progresiones son secuencias de números con una relación común entre ellos. Aquí analizaremos dos tipos, las ariméticas y las geométricas.

Las progresiones aritméticas tienen una relación de suma entre sus miembros y las progresiones geométricas tienen una relación de multiplicación entre ellas.

Progresión aritmética

Un ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, 12 ...

Se advierte que la diferencia común es 2.

Por lo general se pueden tener los siguientes datos acerca de una progresión aritmética

• El primer término de la progresión (a).
• El último término (l).
• Diferencia común (d).
• Número de términos (n).
• Suma de todos los términos (s).

Se necesitan por lo menos tres datos.

Último término

Si tenemos los cuatro primeros términos de una progresión:

a, a+d, a+2d, a+3d

Observamos que el coeficiente de d es igual al número de término menos uno, por lo tanto:

l = a + (n - 1)d

Suma de una progresión aritmética.

Podemos expresar la suma de todos los términos de una progresión de este modo:

s = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n - 1)d]

Se aprecia que en todos los términos está a, lo que significa que se repetirá n veces, por lo tanto podemos decir:

(1) s = na + [d + 2d + 3d + ... + (n - 1)d]

¿Qué tal si ahora empezamos la suma por el último término?

s = l + (l - d) + (l - 2d) + ... + [l + (n - 1)(-d)]

Ahora se repite n veces el último término, y por ello:

(2) s = nl - [d + 2d + 3d + ... + (n - 1)d]

Si sumamos (1) y (2) se anula [d + 2d + 3d + ... + (n - 1)d], y queda:

2s = na + nl = n(a+l)

s = (n/2)(a+l)

Progresión geométrica

Son secuencias númericas relacionadas por un factor común, como:

2, 4, 8, 16, 32 ...

En esta progresión el factor común es 2.

Con estas secuencias reemplazamos d (diferencia común) por r (razón común).

Último término

Los seis primeros términos de una sucesión son:

a, ar, ar², ar³...

Si se observa, la r tiene como exponente n-1, recordando que todo valor elevado a la cero potencia es igual a uno y elevado a la primera potencia es el mismo.

Por consecuencia, el n-ésimo valor de la serie será:

l = ar^n-1

Suma de una progresión geométrica

Una progresión geométrica puede escribirse de esta forma:

(1) s = a + ar + ar² + ... + ar^n-1

Si multiplicamos todo por r...

(2) rs = ar + ar² + ... + ar^n-1 + arⁿ

Restando (2) a (1) se anulan todos los términos del miembro derecho con excepción de "a" y "arⁿ", quedando...

s - rs = a - arⁿ

o

s(1 - r) = a - arⁿ

Luego...

s = (a - arⁿ) / (1 - r)