Buenos Aires, 21/02/00 19:51:21

 

Agradezco a quienes me mostraron errores vía correo electrónico.

Los signos {, }, [, ], (, ), los utilizo para agrupar, ordenar (no denotan cosa alguna).

SOBRE EL CERO Y EL INFINITO

 

  1. Cero [0] se define como [a : " x ¬(x e a )]. Para un conjunto "a ", se da que no existe ningún "x", tal que "x" pertenezca al conjunto "a ".

  2. Cero [0] es la clase cuyo único miembro es Æ , la clase vacía.

  3. [a ± 0 = 0 ± a] = [a].

  4. [0 ± 0] = [0].

  5. [0 · 0] = [0]. (Ver I)

  6. [1 · 1] = [1].

  7. [1 / 1] = [1]. (Ver II)

  8. [1 - 1 = 1 + (- 1)] = [0].

  9. [a / 1] = [a].

  10. [a · 1 = 1 · a] = [a].

  11. [a · 0 = 0 · a] = [0].

  12. [0 / a] = [0].

  13. [c = a · b = b · a] ®

  14. [b = c / a] ®

  15. [a = c / b] ®

  16. [b / c = 1 / a] ®

  17. [a / c = 1 / b] ®

  18. [a / b = c / b2] (Ver III) ®

  19. [b / a = c / a2] ®

  20. [(a · b) - c = 0] ®

  21. [(a · b) / c = 1].

  22. [a / 0] = [0].

  23. [0 / 0] = [0].

  24. Para demostrar (22), tomaremos como válido (11), (13), (14), (15) y, lo siguiente:

  25. [a / b = c] Ù [" a ¬(a = 0)] ®

  26. [a = c · b] ®

  27. [b = (a / c)] ®

  28. [a / b = (b · c) / (a / c)] ®

  29. [a / b = c = (b · c2) / a] ®

  30. [a / 0 = c] Ù [" a ¬(a = 0)] ®

  31. [a / 0 = (0 · c2) / a] ®

  32. [a / 0 = 0 / a] ®

  33. [a / 0 = 0 = c].

  34. Para demostrar (23), tomamos como válido (05), (11), (12) y (33):

  35. [0a / 0b = c] (Ver IV) ®

  36. [0a / (0b · c) = 1] ®

  37. [0a / c = 1 · 0b] ®

  38. [0a / c = 0b] ®

  39. [1 / c = 0b / 0a] ®

  40. [1 / 0b = c / 0a] ®

  41. [0b = c / 0a] ®

  42. [0b · 0a = c] ®

  43. [0 = c]

  44. Si [xn] por definición general, significa: "[xn] es el producto de [n] factores iguales a [x]" ®

  45. [x0] es el producto de [0] factores iguales a [x]. Mediante (01), (03) y (04), ®

  46. [xn = 0 + (x1 · x2 · x3 · ¼ · xn)] Ù [" x (x = xn-1 = xn)] ®

  47. [x1 = 0 + (x1) = x] ®

  48. [x0 = 0].

  49. [01 = 0 + (01) = 0] ®

  50. [00 = 0] ®

  51. [0n = 0] ®

  52. [0± ¥ = 0]. (Ver V)

  53. [¥ 1 = 0 + (¥ 1) = ¥ ] ®

  54. [¥ 0 = 0].

  55. Si [1 · 1 = 1] Ù [1 / 1 = 1] ®

  56. [1n = 0 + (11 · 12 · 13 · ¼ · 1n) = 1] Ù (n = ¥ ) ®

  57. [1± ¥ = 1].

  58. x [{(x = z · y) Ù (x = 0)} « {(z Ú y) = 0}]

  59. [x / n = c] Ù [" n (- ¥ < n < +¥ )] ®

  60. [x / ± ¥ = c = 0]. (Ver VI)

  61. Tomando los puntos (25) a (29), (51) y, (58) a (60), entonces:

  62. Si [x · 0 = 0] Ù [x / ± ¥ = 0] ®

  63. [x / ± ¥ = {(± ¥ · 02) / x} = 0] ®

  64. Dado que [x] puede ser cualquier número [¬" x (x = 0)], ®

  65. [(± ¥ · 02) = (± ¥ · 0) = 0]. Lo que está de acuerdo con el punto (11).

NOTAS:

I [a · b] por definición general, significa: "[a · b] es la suma de [b] sumandos iguales a [a]".

II [a / b = c] por definición general, significa: "[c] tal que la suma de [b] sumandos iguales a [c] es [a]".

III Para significado de [a2] ver punto (44).

IV Los subíndices (a, b) son para hacer más claro el movimiento de términos.

V El símbolo infinito [¥ ] lo consideramos según el punto (59).

VI Esto es lo aceptado (que yo sepa) desde el punto de vista de límites de sucesiones.

COMENTARIOS: zendex@arnet.com.ar