CON RELACIÓN AL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Y AL CORTE DIAGONAL DE G. CANTOR

 

Pierre de Fermat afirma (afirmó), que no existe ninguna tríada de números enteros naturales, que cumplan la relación pitagórica, para potencias mayores que dos (2).

"¬$" significa "no existe".

Esto es:

[¬$ w,x,y,z {(x + 1)w+3 + (y + 1)w+3 = (z + 1)w+3}],

donde (w,x,y,z) son números naturales (incluyendo el cero).

Estamos de acuerdo en que la cantidad de números enteros naturales es infinita.

A partir de ahora, las llaves, corchetes y paréntesis, son utilizados únicamente con el propósito de ordenar (no denotan cosa alguna).

Si tomamos el número uno (1) y le agregamos un cero (0) a la derecha, obtenemos el número diez (10). Si le agregamos dos ceros (00) al número uno (1) obtenemos el número cien (100). Si continuamos agregando infinitos ceros, siempre obtendremos algún número múltiplo de (10), esto es, 10n.

Si tenemos (1,1) y lo multiplicamos por (10 = 101), obtenemos (11).

Si tenemos (1,11) y lo multiplicamos por (100 = 102), obtenemos (111).

Si tenemos (1,111) y lo multiplicamos por (1000 = 103), obtenemos (1111).

La siguiente relación es válida: [(az)2 + (bz)2 = (cz)2].

[(3)2 + (4)2 = (5)2].

[(0,3 · 10)2 + (0,4 · 10)2 = (0,5 · 10)2].

[(0,03 · 100)2 + (0,04 · 100)2 = (0,05 · 100)2].

[(0,003 · 1000)2 + (0,004 · 1000)2 = (0,005 · 1000)2].

Si tenemos un número real (x) con una expansión decimal de (n) cifras, únicamente debemos multiplicar al número (x), por (10n), y obtendremos un número entero.

Lo anterior (x · 10n), es lo que se conoce como notación científica (en potencias de diez).

Que la expansión decimal (n) de (x) pueda ser muy grande (incluso infinita en reales) no implica que no exista el número (10n) correspondiente, suficiente para convertir a (x) en un entero (implicaría que la cantidad de números enteros no es infinita). Esto recuerda la no numerabilidad de los números reales, según G. Cantor.

De esto se sigue que la afirmación del último teorema de Pierre de Fermat es falso (debe serlo necesariamente).

Tomemos tres números no enteros (a, b, c) que valgan para [(ax)3 + (bx)3 = (cx)3] (a modo de ejemplo).

Si a (x) le damos el valor (10n) correspondiente a la máxima cantidad de dígitos (cadena), de la expansión decimal (n) (ya sea de [a], [b], o [c]), se tienen los correspondientes cubos de enteros (ecuaciones cúbicas de Fermat).

En todo caso, es un problema de potencia de cálculo y de precisión (computabilidad algorítmica, numerabilidad); no de existencia.

"®" significa "entonces".

Llamaremos [C] a la cantidad de números naturales que existen.

A modo de ejemplo, si únicamente existiesen los números naturales [{0, 1, 2, 3, 4, 5} ® {C = 6}].

Llamaremos a la cantidad de cifras de la expansión decimal de cualquier número, [N].

A modo de ejemplo: [{0,321} ® {N = 3}], [{1,00001} ® {N = 5}].

Tenemos un número cualquiera [a], que tiene expansión decimal, esto es, que [a] es número no entero:

a modo de ejemplo, [{a = 1,23} ® {N = 2}].

Si realizamos la siguiente operación sobre [a] obtenemos:

[a · (10N)] ® [1,23 · (10N)] ® [1,23 · 100] = [123].

[123] es un número entero.

La operación [a · (10N)], sobre cualquier número [a] no natural, transforma al número [a] en otro número [b] entero, proporcional a [a].

Tomamos como válido que [C] > [N], dado que al ser [C] infinito, siempre existirá en [C] un [N + 1], para convertir a cualquier número no entero [a], en otro entero proporcional [b], mediante la operación [a · (10N)], sobre [a].

""" significa "para todo".

"e" significa "pertenece a".

"Ù" significa "y (conjunción)".

Esto es:

[" (N) $ (N + 1) {{(N + 1) e (C)} Ù {(N + 1) > (N)}}].

Tomamos como válido lo siguiente:

[(xa)n + (xb)n = (xc)n], donde [x] puede ser cualquier número.

A modo de ejemplo:

[(1 · 3)2 + (1 · 4)2 = (1 · 5)2]

[(10 · 3)2 + (10 · 4)2 = (10 · 5)2]

[(100 · 3)2 + (100 · 4)2 = (100 · 5)2]

[(1000 · 3)2 + (1000 · 4)2 = (1000 · 5)2].

Se puede argumentar que el crecimiento de la expansión decimal (cadena) impide que exista el correspondiente entero, dado que no se trata solamente de que la expansión decimal es infinita, sino también que a medida que crecen los decimales de la expansión (a medida que se agregan), se aleja cada vez más del resultado buscado. Con el mismo criterio podemos afirmar, que la raíz cuadrada de (2) a modo de ejemplo, no existe (independientemente de que es inconmensurable). Pensamos que la expansión decimal de la raíz cuadrada de (2) es infinita; pero que el último dígito de la expansión (aunque su posición decimal sea infinita), es el que obtiene el resultado buscado (2), si elevamos al cuadrado la expansión obtenida.

"Ö " significa "raíz cuadrada de".

Tenemos el siguiente cálculo: {Ö (2)}2 = (2).

Nosotros sabemos que (2) es el resultado correcto; pero sería imposible lograr el resultado (2), si primero debemos calcular la raíz cuadrada de (2) y, luego elevar el resultado, al cuadrado (efectuando la operación de cálculo, sin redondeos de ningún tipo). Si la expansión decimal de raíz de (2) es infinita, nunca tomaremos la cantidad de decimales suficientes (cadena), para lograr el resultado (2). Sin embargo, el resultado existe.

La raíz cuadrada de (2) es inconmensurable; pero existe. Existir existe, dado que si a la raíz cuadrada de dos, (teniendo la inconmensurable cifra) la multiplicamos por un múltiplo de diez, obtendremos un número entero. Inversamente, existirá un número (y = 2·10x) tal que su raíz cuadrada, sea un número entero existente…

Sobre el corte diagonal de G. Cantor y los números reales.

En el corte diagonal de G. Cantor, se debe crear una lista emparejada uno-a-uno de un lado, todos los números naturales que existen, y del otro (emparejada fila a fila), todos los números reales que existen. No importa el orden, lo importante es que estén emparejados. Luego se toma formando una diagonal en la lista de números reales, un dígito (columna) de cada número real (fila). Se obtiene una cifra (fila), que tiene un dígito de cada número real que existe (los cuales están en la lista original). Cada dígito corresponde a una fila, y es diagonal porque se ha movido por cada fila, una columna, por lo tanto, es como sacar los números de la diagonal de una matriz numérica. Cada número corresponde a una fila y a una columna única, y no se repite.

Posteriormente, al número real obtenido de la diagonal, se le efectúa una operación dígito a dígito (sumar o restar "1" a cada dígito, como ejemplo). Mediante la operación mencionada, se obtiene en teoría, un número real que no existe en la lista original, debido a que todos los números (filas) diferirán en al menos una cifra (columna), con el número obtenido de la diagonal.

Sin embargo, esto puede aplicarse a una lista de números enteros, tanto como a una lista de números reales. Por lo tanto, los números naturales, tampoco son numeables. Se debe a que si a los números reales de la lista original, les quitamos la coma (supondremos una lista de números reales con filas del tipo "0,123456789…") y los transformamos en enteros, encontraremos que tampoco existe en la lista original el número de la diagonal. Los números enteros, tampoco serían numerables… Me han dicho que si quitamos la coma de una número irracional (por simple gusto), lo que obtenemos no es un número o, al menos no es un número entero. Pregunto ¿en qué momento dejan de ser enteros los enteros?

Si los números reales son no numerables, entonces ningún tipo de números es numerable, debido a que a cualquier tipo de números se le puede aplicar el corte diagonal de G. Cantor (basta con completar con ceros la matriz cuadrada, alineando a la derecha las cifras, y a la izquierda completando con ceros).

 

SOBRE FERMAT Y CANTOR

PARTE II

 

  1. El conjunto Z de los números enteros, es un conjunto infinito.

  2. En Z, siempre existirá un (n + 1) y, por lo tanto, los números (elementos) que pertenecen a Z, son infinitos.

  3. Todo número entero Z tiene un predecesor y un sucesor.

  4. Cantor ha utilizado los números naturales y enteros para sus demostraciones sobre numerabilidad.

  5. Cantor ha demostrado que N, Z y Q, pueden ser enumerados.

  6. Cantor ha utilizado los enteros Z, para su demostración mediante corte diagonal, respecto a la no numerabilidad (supranumerabilidad) de los reales R.

  7. Si Cantor ha utilizado los enteros Z para enumerar una matriz infinita, se deduce que la cantidad de números o elementos de Z, son suficientes para enumerar la matriz infinita.

  8. En la demostración de Cantor, la no numerabilidad de los reales R, no dependía de los números Z que los enumeraban, sino del corte diagonal, sobre la matriz que contiene todos (supuestamente) los números reales R, del intervalo [0, 1].

  9. Si los puntos (1, 2, 7) son verdaderos, entonces los dígitos de un número entero Z, pueden crecer (su cantidad) hasta hacerse infinitos.

  10. Lo afirmado en el punto (9) se debe a que una vez rebasadas (desbordadas) las unidades, se agregan las decenas; rebasadas éstas se agregan las centenas; &c. (representación en notación decimal).

  11. Si el punto (9) es verdadero, entonces existen números enteros Z, de infinitos dígitos.

  12. Si el punto (11) es falso, entonces el punto (2) es falso, debido a que (n+1) tiene límite.

  13. Si el punto (2) es falso, se debe establecer el límite de (n + 1) en Z.

  14. Si se toma cualquier número real R con expansión decimal infinita (un único número R con expansión decimal infinita, cualquiera sea, mientras sea un número irracional R\Q, como lo es [x2 - 2 = 0]), y se lo enumera uno-a-uno con los números enteros (a cada uno de los dígitos del número real R mencionado, le corresponde un número entero Z), se encuentra que la cantidad de dígitos del número real R, no es mayor, que la cantidad de números enteros Z disponibles para enumerar uno-a-uno, a los dígitos del número real R (gracias a los puntos 1, 2, 7). Son equipotentes.

  15. Si los puntos (1, 2, 7) son verdaderos, entonces el punto (14) es verdadero.

  16. A un número entero Z se le puede agregar por la izquierda, tantos ceros como se desea, y el número es el mismo (mismo valor). A modo de ejemplo (6 = 006).

  17. Construir un número entero Z, tomando sus dígitos de una diagonal de matriz infinita, no es distinto en cuanto infinitud de sus cifras, a intentar enumerar una matriz infinita, fila a fila, uno-a-uno.

  18. Al punto (17), podemos agregarle que incluso, podríamos enumerar cada fila de la matriz infinita z i j con (i!), y tendremos suficientes números enteros Z para hacerlo. Esto es, enumerar (etiquetar) utilizando el factorial de su número de fila i.

  19. Se puede construir una matriz (como se mostrará a continuación, igual a la de Cantor; pero en lugar de números reales R, se utilizan números enteros Z) para enumerar los números enteros Z, y si se aplica el corte diagonal de Cantor, se obtiene la contradicción (no numerabilidad), igual que con los reales R.

  20. Tenemos f : J ® Z definida por x a f (x) = x (es biyectiva). Z ~ J.

  21. Se construye una matriz infinita (z i j).

  22. Hipótesis: Sea J numerable.

    23. Existe entonces una aplicación biyectiva (se toma la diagonal z i i). (Imitamos el corte diagonal de Cantor).

    Toda fila z n estará ordenada (alineada) en j (columnas), por unidades, decenas, centenas, &c.

    Si z i j = Æ ® z i j = 0. Se debe a que la matriz es cuadrada, y que a modo de ejemplo, 1 tiene (1) dígito, y 100 tiene (3) dígitos. Supuesto que todas las filas están correctamente ordenadas con respecto a j (unidades, decenas, &c), se descarta que los ceros, se agreguen por la derecha de un número (las unidades de toda fila i o número z n, estarán en la columna j derecha última de la matriz infinita). Si la matriz se formara (Cantor) con los números reales R del intervalo [0, 1], entonces se comenzaría por la izquierda de la matriz (todo número R, "fila", estará alineado con su primer cero, anterior a la coma, en la primera columna de la izquierda de la matriz, y su primer decimal en la segunda columna de la matriz). En la siguiente matriz entonces, las unidades de toda fila (de todo z n), se alinean en la última columna de la derecha de la matriz; luego, a la izquierda de las unidades se alinean las decenas; &c.

    zn = (se completa con ceros si es necesario) …centenas decenas unidades.

    Es lo mismo que

    (se completa con ceros si es necesario) …centenas decenas unidades = zn

    0 « z0 = z00 z01 z02 z03 …

    1 « z1 = z10 z11 z12 z13 …

    2 « z2 = z20 z21 z22 z23 …

    3 « z3 = z30 z31 z32 z33 …

    . .

    . .

    . .

     

    (Z i j Î {0, 1, 2, …, 9})

    El número z = z0 z1 z2 z3

    Con z i = 2 si z i i = 1

    y z i = 1 si z i i ¹ 1

    no aparece. Contradicción.

  23. Por lo tanto (siguiendo el razonamiento de Cantor), los números enteros Z, tampoco son numerables (son supranumerables), al igual que los números reales R.

  24. El punto (23), es independiente de los puntos (1, 2), y viceversa.

  25. Lo mismo sucede en el caso de los números racionales Q.

  26. Fermat afirma, que no existe solución de entero Z, para su ecuación de Fermat (an + bn = cn) para n > 2.

  27. Se da que {(ax)n + (bx)n = (cx)n}.

  28. Ya se ha mostrado en un escrito anterior, que es posible ir desplazando, la coma decimal de (c), en (an + bn = cn), multiplicando por potencias de 10, en (a) y en (b).

  29. Se afirma entonces, que existirá un 10n suficientemente grande, como para que exista solución de entero Z en la ecuación de Fermat (an + bn = cn). Explicamos a continuación.

  30. En la matriz propuesta en el punto (21), enumeramos cada fila zi, uno-a-uno con dos columnas (U, W). Una de ellas, U, con {(a·10zi)n}, y la otra, W, con {(b·10zi)n}. Esto es, multiplicamos (a) y (b), por 10 elevado al número de fila zi de la matriz.

    31. f : Z ® U definida por zi a f (zi) = {(a·10zi)n} (es biyectiva)

    f : Z ® W definida por zi a f (zi) = {(b·10zi)n} (es biyectiva)

    (Z ~ U)

    (Z ~ W)

  31. También se puede realizar lo propuesto en el punto (30), mediante la enumeración mencionada en el punto (14), o mediante lo afirmado en el punto (17), enumerando los dígitos del número entero Z obtenido.

  32. Si los puntos (1, 2) son verdaderos, se afirma que mediante el punto (30), existirá algún [{(a·10zi)n} + {(b·10zi)n} = cn], donde (c) es entero Z. Sin embargo, no se puede afirmar (absolutamente) que se encuentren en la numeración (en la lista de etiquetas) de la matriz (en la propuesta por nosotros, o en la propuesta por Cantor), debido a lo afirmado en el punto (23), sobre la supranumerabilidad de los enteros Z, al igual que los reales R.

  33. Se afirma en el punto (32), que las soluciones U existen en Z, y que las soluciones W existen en Z.

  34. Si el punto (11) es verdadero (se puede tomar independientemente también el punto 6, o el punto 14), entonces se deduce que existirá la solución de Fermat (propuesta en el punto 32), debido a que existirán enteros Z (a, b), suficientemente grandes, para que (c) sea entero Z.

  35. Los puntos (28, 32, 34) no implican, que la solución pueda representarse notacionalmente, esto es, en representación notación decimal escrita, sino que implica la existencia (e ) de la solución entera Z, dentro de Z. Se debe a que no es lo mismo redondear la expansión decimal de un número irracional, a que hacerlo con los dígitos un número entero.

 

 

Santiago Tristany.

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