Fraktale Geometrie - Die Mandelbrot-Menge

Apfelmännchen

Julia-Menge

Die Abbildung, unter Verwendung verschiedener Rückkopplungsgleichungen, wurden mit dem IBM Personal System/2, Modell 80 (mit math. Coprozessor) erstellt und auf de, Bildschirm IBM 8514 angezeigt.

Eines der Probleme der "dynamischen Systeme", die Rückkopplung(feedback), wurde von Mandelbrot an einem sehr einfachen Fall dargestellt: Dem der Dynamik der sogenannten "quadratischen Abbildung" der Ebene. Er untersuchte dazu die Funktion z ← z²+c, die die Mandelbrot-Menge, auch "Apfelmännchen" genannt, erzeugt. Ihre Grenzlinie ist eine einfache fraktale Kurve unendlicher Komplexität. Betrachtet man sie näher und untersucht man den Rand der Mandelbrot-Menge in zunehmender Vergrößerung, erkennt mann zunehmend komplexer werdene schneckenförmige Strukturen. Andererseits enthält jedes kleine Teil auch die verkleinerte Version des "Apfelmännchens". Das bezeichnet man als Selbstähnlichkeit.

Bei der "Mandelbrot-Menge" wird z=c gesetzt, d.h., aus z<-z²+c wird z<-c²+c.
Die Figur wird in der sog. (cx/cy) -Ebene dargestellt. Werden in obiger Gleeichung z<-z²+c die z-Werte "belassen" und für cx;cy feste Werte (Parameter) eingesetzt, so erhält man die sog. "Julia-Mengen".

IBM Pressefoto 8/88
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