UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE/BOSNIAN MATHEMATICAL SOCIETY

Zmaja od Bosne 35/IV, 71000 Sarajevo, Bosnia and Herzegovina

  Tel./Fax: (++387)(33) 646-905, (++387)(33) 649-342

XLI TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BiH

FEDERALNO PRVENSTVO IZ MATEMATIKE UČENIKA

SREDNJIH  ŠKOLA ŠK. 2000/2001. 

(Gradačac, 6. - 8. IV 2001)

 GIMNAZIJA ''MUSTAFA NOVALIĆ'' GRADAČAC

Z A D A C I

III RAZRED

1.  Zbir tri cijela broja x, y i z je 0. Dokazati da je  2x⁴ + 2y⁴ + 2z⁴ kvadrat nekog cijelog broja.

2.  Neka je  niz prirodnih brojeva s ova tri svojstva:

a₁=200, a₂=1  i  za svaki  n Î N vrijedi da je a_n+2 ostatak pri dijeljenju zbira a_n + a_n+1 sa 102.

Odrediti ostatak pri dijeljenju broja

sa 9.

3.  Tangente u tačkama B i C opisane kružnice oko oštrouglog trougla ABC sijeku se u tački T. Prava AT siječe stranicu BC u tački P, a Q je središte duži AP.

a) Dokazati da je , gdje su a, b  i  c redom dužine stranica BC, CA  i  AB, a g unutrašnji ugao trougla ABC čije je tjeme u tački C.

b) Odrediti sve trouglove ABC za koje je ugao ABQ maksimalan, a zatim izračunati omjer a : b : c za svaki od tih trouglova.

4.  U kompleksnoj ravni je dat luk  kao skup svih tačaka z za koje je | z | = 1 i  Im (z) ³ 0 (pri čemu su tačkama A i B  pridruženi kompleksni brojevi (-1, 0) i (1, 0), respektivno). Neka su na tom luku date tačke C i D takve da važi:

i)  Tačka C pripada luku .

ii) Ugao COD je prav (gdje je O ishodište koordinatnog sistema kompleksne ravni).

Dokazati ove tvrdnje:

a) Jednačina , gdje je d kompleksni broj pridružen tački D, predstavlja jednačinu prave AD.

b) Ako je E presjek pravih AC i BD, a F presjek pravih AD i BC, onda vektor  ne zavisi od izbora tačaka C i D.

_________________________________

NAPOMENE :

1.  Vrijeme za izradu zadataka je 4 sata.

2.  Svaki zadatak je vrednovan sa 25 bodova.

3. Za vrijeme rada nije dozvoljena upotreba nikakvih tablica, digitrona i drugih pomagala osim pribora  za crtanje i pisanje. Nije dozvoljeno napuštanje prostorije u toku rada.

SRETNO!

CENTRALNA TAKMIČARSKA KOMISIJA

home  next

Novinarska sekcija Gimnazije Encoding  IE Central European Windows, 1024x768