 يجب على السفن عندما تقترب من سواحل البحار أن تتجنب المياه الضحلة والصخور الخطرة.
وبناءً على ملاحظات البحّارة يتم تحديد مناطق المياه الخطرة ، وتمثَّل منطقة الخطر
بدائرة كما في الشكل المجاور . تمر هذه الدائرة بمنارتين على خط الساحل هما أ
، ب. وإذا كانت جـ نقطة على قوس الدائرة المار في الماء فإن الزاوية أ جـ ب
تسمى زاوية الخطر .
إذا كانت النقطة د تمثل موقع السفينة
في البحر ، يمكن للبحارة معرفة قياس الزاوية أ د ب بواسطة أجهزة موجودة في
السفينة . فكيف يتجنب البحارة منطقة الخطر؟
للإجابة عن هذا السؤال لا بد من أن تتعرف العلاقات بين الزوايا المرتبطة بالدائرة ومنها الزاوية المركزية والزاوية
المحيطية .
 
في الشكل المجاور الزاوية س م ع زاوية مركزية ، الزاوية س ص ع زاوية محيطية ، وهما مرسومتان على قوس واحد هو س ع.
|
نظرية
قياس الزاوية المركزية يساوي ضع
قياس الزاوية المحيطية المرسومة معها على القوس نفسه.
|
المعطيات
الزاوية أ م ب زاوية مركزية ، الزاوية أ جـ ب زاوية محيطية مرسومتان على القوس أ ب
في الدائرة التي مركزها م، انظر الشكل المجاور 
المطلوب
إثبات أن قياس الزاوية أ م ب = 2 قياس الزاوية أ جـ ب
البرهان
صل ج م ومده إلى د
المثلث أ م جـ متساوي الساقين فيه م أ = م جـ
قياس الزاوية 1 = قياس الزاوية 2 ( زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين).
الزاوية 5 زاوية خارجة بالنسبة للمثلث أ م جـ
إذا قياس الزاوية 5 = قياس الزاوية 1 + قياس الزاوية 2
قياس الزاوية 5 = 2 قياس الزاوية 2
بالمثل يمكن إثبات أن قياس الزاوية 6 = 2 قياس الزاوية 4
لكن قياس الزاوية أ م ب = قياس الزاوية 5 + قياس الزاوية 6
إذا قياس الزاوية أ م ب = 2 قياس الزاوية 2 + 2 قياس الزاوية 4
= 2 ( قياس الزاوية 2
+ قياس الزاوية 4 )
= 2 قياس الزاوية أ جـ ب ( وهو المطلوب ).
برهن النظرية السابقة إذا كان أحد ضلعي الزاوية
المحيطية قطراً للدائرة كما في الشكل المجاور
 
في الشكل إذا كان قياس الزاوية أ جـ ب = 40˚ وكانت م مركز الدائرة احسب قياس كل من الزاوية أ
م ب ، الزاوية أ ب م .
الحل الزاوية أ م ب ، الزاوية أ جـ ب مركزية
ومحيطية مرسومتان على القوس أ ب ، قياس الزاوية أ م ب = 2 قياس الزاوية أ جـ ب.
( قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية
المحيطية المرسومة معها على القوس نفسه ).
قياس الزاوية أ م ب = 2 × 40˚ = 80˚
قياس الزاوية أ ب م = قياس الزاوية م أ ب ( المثلث أ م ب متساوي الساقين فيه أ م = م ب )
قياس الزاوية أ ب م = 0.5 ÷ (180˚ - 80˚)
قياس الزاوية أ ب م = 50 ˚
احسب قياس الزاوية أ م ب في الشكل المجاور إذا كان م مركز الدائرة ، قياس الزاوية م
أ جـ = 30˚
، قياس الزاوية م ب جـ = 20˚
|
نظرية
الزاويتان المحيطيتان المرسومتان
على قوس واحد في الدائرة لهما القياس نفسه.
|
 
جد قسمة س في الشكل المجاور
الحل
قياس الزاوية د جـ ب = قياس الزاوية د أ ب
= 180˚ - (95˚ + 35˚ )
= 50˚
إذا
س =
50˚
 
في الشكل المجاور
إذا علمت أن قياس الزاوية د أ ب = 50˚ ، أب //جـ د فجد
قيمة
س.
 في الشكل المجاور إذا كان أ ب = د و فأثبت أن قياس الزاوية
أ جـ
ب = قياس الزاوية د هـ و
الحل
صل م أ ، م ب، م د، م و، يتطابق المثلثان م أ ب ، م د و
بثلاثة
أضلاع.
م أ = م د ( طولا نصفي قطرين في الدائرة ).
م ب = م و ( طولا نصفي قطرين في الدائرة).
أ ب = د و ( معطى ).
وينتج أن قياس الزاوية أ م ب = قياس الزاوية د م
و
لكن قياس الزاوية أ جـ ب = 0.5 قياس الزاوية أ م ب ، قياس
الزاوية
د هـ و = 0.5 قياس الزاوية د م و ، إذا قياس الزاوية أ جـ ب = قياس الزاوية
د هـ
و.
|
وبصورة عامة فإن : الزوايا
المحيطية المرسومة على أوتار متطابقة أو أقواس متطابقة تكون
متطابقة .
|
|
عد للمسألة التي طرحت في بداية الدرس
إذا كان قياس أ جـ ب
= 50˚
|
تذكر
!
تتطابق زاويتان
إذا كان لهما القياس نفسه . وتتطابق قطعتان مستقيمتان إذا كان لهما
الطول نفسه . أب أن التطابق يعني تساوي القياس.
|
1) حدد العلاقة بين قياس
الزاوية أ جـ ب ، وقياس الزاوية أ د ب حيث د تمثل موقع
السفينة ، إذا كانت :
أ
) د على الدائرة ب ) د
خارج
الدائرة . ج ) د داخل الدائرة .
2) لإبعاد السفينة عن منطقة الخطر ماذا يجب أن يكون قياس
الزاوية
أ د ب ؟
هذا الدرس مقتبس من كتاب الصف العاشر الأردني .
|