Series de Taylor
Las series de Taylor surgen de una ecuacion que el desarrollo en la cual se puede encontrar una solucion aproximada a una funcion.
Esto creo que servia antes de que se inventaran las calculadoras que pueden resolver funciones trigonometricas y exponenciales y logaritmicas etc...

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones segun yna ecuacion general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto sera el resultado que se esta buscando. Dicha ecuacion es la siguiente:
Con el objetivo solo de demostrar la serie se aplicara con las funciones e, seno y coseno.
Como se puede observar en la ecuacion, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines practicos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
Funcion e
Se puede aplicar la ecuacion de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aqui.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la funcion, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patron repetitivo despues de cierto numero de derivaciones, como la funcion e.
Despues se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidio que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion.
Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuacion de la serie:
Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas preciso.

Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo:?
Baja el programa:
Funcion Seno
En el caso de la funcion seno el procedimiento que se sigue es el mismo.
Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:
Aqui si se puede observar como comienza a ser repetitivo despues de la tercera derivada.
Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patron:
Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos:
Baja el programa:
Funcion Coseno
Para el coseno el procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patron.
Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion general:
Por ultimo se desarrolla la ecuacion general para cualquier caso:
Baja el programa: