VARIÁVEIS  ALEATÓRIAS

Definição: Uma Variável Aleatória X é uma função definida sobre o espaço amostral ? e assumindo valores em R . Em geral denotaremos pelas letras X, Y, Z, etc.
 

 
onde x1, x2, ... xn são as variáveis aleatórias com probabilidades p(x1), ... p(xn); satisfazendo a condição

1. Variáveis aleatórias discretas e contínuas

As variáveis aleatórias são classificadas como pertencendo a um dos seguintes dois tipos :

1). variáveis aleatórias discretas

2). variáveis aleatórias contínuas

Definição : Variável aleatória discreta é aquela que pressume um número enumerável de valores.

É possível identificar facilmente uma variável aleatória discreta, examinando-se o número de valores que ela pode ter. Se o número de valores possíveis puder ser contado, diz-se que essa variável aleatória é discreta.

Definição : Variável aleatória contínua é aquela que pode assumir um número infinitamente grande de valores, correspondentes aos pontos de um intervalo de uma reta de números.

O termo contínua, um adjetivo, significa prosseguimento intermitente, sem interrupção.

2. Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas

A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta constitui uma fórmula, tabela ou gráfico que possibilita calcular a probabilidade associada a cada valor dessa variável aleatória. Uma vez que cada valor que pode ser atribuído a uma variável y constitui um evento numérico, podemos aplicar os métodos descritos no capítulo 1 para obter as probabilidades corretas.

3. Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas

No caso das variáveis aleatórias contínuas, conforme as medidas vão sendo representadas no histograma, os intervalos de classes se tornam tão pequenos que tendem para um contínuo.

Se a área total representada em um histograma for ajustada para ser igual a 1 (ou seja, caso ela seja normalizada), as áreas sob a curva corresponderão às probabilidades desejadas.

f(x) é denominada distribuição de probabilidade ou função de densidade de probabilidade da variável aleatória y, e obedece às seguintes propriedades :

a). f(x) >0; o (decorre do fato de não haver probabilidade negativa)

b). .  (significa que a área sob a curva entre a e b é igual a probabilidade da variável aleatória y estar no intervalo a,b).

c).  (normalização)

4. Parâmetros de Posição

Podemos definir alguns parâmetros, denominados parâmetros de posição, que contribuem para bem localizar a distribuição de probabilidade em questão. Veremos um desses parâmetros a seguir.

 Definição:   Média  ou  valor esperado, esperança matemática.
Será denotada por m (lê-se mi) ou E , e é definida como :

a). Para as variáveis discretas :

b). Para as variáveis contínuas :

A média é, em geral, usada para caracterizar o centro da distribuição. Indica também qual seria a média dos valores da variável aleatória obtidos a longo prazo.

5. Parâmetros de Dispersão

Esses parâmetros caracterizam a variabilidade das variáveis aleatórias. A variância, definida a seguir, é um exemplo de parâmetro de dispersão.

Variância

Será denotada por s ² (X) ou, simplesmente, s ² , e é definida por :

sendo que E(X²) é dado por :

a). No caso discreto :

b). No caso contínuo :

Para variáveis aleatórias discretas podemos também usar a seguinte expressão :

  DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

1. A Experiência Binomial

Definição : Uma experiência binomial é um processo que apresenta as seguintes características :

a. Possui n tentativas. Ou seja n representa o número de tentativas do evento ou experiência.

b. Só há dois tipos de resultados possíveis: sucesso ou fracasso.

c. A probabilidade de resultar um sucesso em uma tentativa singela é igual a p Þ probabilidade de resultar um fracasso é q= (1 - p) ; logo

p: indica sucesso e q=1-p: a chance de fracasso.

d. Todas tentativas são independentes

e. Normalmente interessa-nos y = número de sucessos obtidos em n tentativas.

2. A Distribuição Binomial

Definimos a seguinte expressão para uma distribuição de probabilidade para o caso binomial :

onde y pode assumir os valores de 0, 1, 2, 3, 4, ...., n .

e lembrando a expressão

Exercício 1). Utilizando a expressão para a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória, calcule :

a). P(y) para cada valor que y pode assumir em uma experiência binomial onde há somente uma tentativa.

b). P(y) para cada valor que y pode assumir em uma experiência binomial onde há 2 tentativas.

c). P(y) para cada valor que y pode assumir em uma experiência binomial onde há 3 tentativas.

Exercício 2). Por um longo período de tempo, observou-se que um atirador podia alcançar um alvo em uma única tentativa, com probabilidade de 0,8. Se ele atirar 4 vezes nesse alvo :

a). Qual é a probabilidade de ele atingir o alvo precisamente duas vezes ?

b). Qual é a probabilidade de o atirador atingir o alvo pelo menos duas vezes ?

3. Média de uma Variável Aleatória Binomial

Pode-se mostrar que a média (valor esperado, esperança matemática ) da v.a. y, para uma experiência binomial constituída de n tentativas, é :

  m =n.p

onde p é a probabilidade de resultar sucesso em uma tentativa singela.

4. Variância de uma Variável Aleatória Binomial

A Variância, para o caso de uma variável aleatória binomial, é dada por :

  s ²=n.p.q

onde n é o número de tentativas, p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa singela e q é a probabilidade de fracasso em uma tentativa singela.

Exercício 3). Sabe-se que 10 % dos tubos de TV de uma dada marca queimam-se antes do término da garantia. Se 1000 dessas TV’s foram vendidas, calcule o valor esperado (média) e a variância de y, números de tubos queimados.

Exercício 4). Grandes lotes de produtos de uma fábrica são inspecionados a fim de se poderem detectar os defeituosos. Essa inspeção é feita por amostragem. Dez produtos devem ser inspecionados e o lote é rejeitado caso existam dois ou mais defeituosos. Se o lote tiver exatamente 5 % de produtos defeituosos, qual será a probabilidade de ele ser aceito ? E rejeitado ?55

 A curva para a distribuição Normal tem a forma de um sino e é simétrica, sendo que seu centro de simetria está localizado em x = m , onde m é a média da v.a. x. como mostra a figura a seguir

A probabilidade de uma variável aleatória X, que tem distribuição Normal com média m e desvio padrão s , assim temos as

Para se obter essa probabilidade devemos realizar o cálculo da integral de f(x) entre x₁ e x₂ :

O cálculo dessa integral pode ser bastante trabalhoso. No entanto, existem tabelas apropriadas, através das quais os valores dessas áreas podem ser facilmente obtidos.

Para tanto, realiza-se a seguinte transformação de variável :

Assim os pontos x₁ e x₂ da variável Normal X se transformam nos pontos :

Portanto : P(x₁ £ X £ x₂) = P(z₁ £ Z £ z₂) Assim dado um intervalo da forma [a, b], então p([a, b]) representa a área como indicado a seguir
  

Dessa forma, para calcularmos a probabilidade de uma variável aleatória x estar entre os valores x₁ e x₂ , basta obtermos os valores de z₁ e z₂ e consultarmos a tabela apropriada com valores de P(z). Finalmente

            Aproximação normal à distribuição binomial
 

 
Sendo  que se X é o número de sucessos   em n ensaios  independentes, todos com a
mesma probabilidade de sucesso p, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p e usamos a notação

• • • • • X~B(n,p).

Vimos anteriormente que que a média e a variância de X são
dadas respectivamente por

 
                        E(X) =  m = np        --&--  Var(X) = s ²= npq.

 
 Se n for grande, digamos   np>5,  o histograma associado à  distribuição binomial  aproxima-se  à distribuição normal de
média E(X) e variância Var(X). Assim neste basta usar a distribuição normal com os parâmetros acima definidos.

 
Nas figuras que se seguem são apresentados histogramas da
distribuição binomial

 Distribuição binomial com n=10 e p=0,2.

Distribuição binomial com n=20 e p=0,2.

Tomando    n arbitrariamente grande ,   os histogramas vão se tornando  aproximadamente simétricos e com a forma da curva normal.