TEOREMA DE BAYES

I – INTRODUÇÃO

Antes de abordar o  Teorema de Bayes propriamente dito,  faremos um resumo de algumas propriedades e da terminologia do  Cálculo de Probabilidades.

Experimento

O termo "experimento" refere-se a qualquer processo de observação de experimento aleatorio  ou contagem. Por exemplo, um experimento pode ser a contagem de quantas faltas um estudante teve durante o ano letivo, se uma pessoa é casada ou solteira. Da mesma maneira, um experimento pode ser um estudo complexo de coleta de dados meteorológicos para previsão de tempo, ou ainda uma pesquisa de opinião para saber se um candidato será bem votado numa eleição.

Espaço Amostral e Evento

Para um determinado experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral. Num jogo de dados, os resultados possíveis ao se jogar um dos dados é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5 ou 6}. Nenhum outro resultado é possível. Este conjunto é o espaço amostral do jogo de um dado. O espaço amostral do lançamento  de uma moeda, por sua vez, é o conjunto {cara, coroa}. Se estivermos interessados em saber qual o tipo de sangue de um grupo de estudantes, o espaço amostral será o conjunto {A, B, AB ou O}.

Um resultado particular dentro do conjunto do espaço amostral é chamado de evento. Em geral qualquer subconjunto do espaço amostral é um evento. Assim, no jogo de dados, o resultado 1 é um evento. O subconjunto de resultados pares no jogo de dados, {2, 4 ou 6} também é um evento, assim como todos os resultados menores que 6, que é o conjunto {1, 2, 3, 4 e 5}.

Diagramas de Venn-Euler

Uma forma gráfica de representar as relações entre eventos e espaços amostrais, bem como a relação entre eventos diferentes no mesmo espaço amostral é conhecida como Diagrama de Venn.

 
O figura abaixo representa três momentos em uma festa. O espaço A representa o período onde foi servido algum alimento.
O espaço B representa o período onde foi servida alguma bebida.

A reunião entre os conjuntos  A e B, representada por (A È B), representa todo o período onde ou foi servida alguma bebida, ou alguma comida ou ambas.

A intersecção entre A e B, representada por (A Ç B), representa o momento onde foram servidas simultaneamente comida e bebida.

O espaço representado por C significa o período onde não foi servida comida nem bebida.

A modo de exercício indique  que significam os espaços preenchidos em cinza nas figuras abaixo?

Resposta: ___________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Resposta: ___________________________________________________________________

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Propriedades de uma função de  Probabilidades Primeira Propriedade  – Probabilidades são números reais positivos. Simbolicamente, P(A) ³ 0 ..........................................(01) para qualquer evento A.  O  espaço amostral tem probabilidade igual a 1. Simbolicamente, se S é um espaço amostral, P(S) = 1............................................ (02) Segunda Propriedade  – Se dois eventos são mutuamente exclusivos, isto é, disjuntos,  a probabilidade de que um ou outro ocorra é igual à soma de suas respectivas probabilidades. Simbolicamente,    

para quaisquer dois eventos A e B mutuamente exclusivos.

Observação: o símbolo È em probabilidades pode ser lido como ou. Generalização do terceiro postulado – Se k eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um deles ocorra é igual à soma de suas probabilidades individuais. Simbolicamente,    

para quaisquer eventos mutuamente exclusivos A₁, A₂, A₃, ..., A_k.

Propriedades  da reunião  de Probabilidades Definição  da probabilidade de um evento – A probabilidade de um evento A,  dentro de um espaço amostral (S) é dada por:    

  
onde #(A) indica a cardinalidade do evento A, similarmente #(S) o número total de possíveis ocorrências do experimento aleatório. Regra geral da reunião de dois eventos  – Dados dois eventos A e B quaisquer, tem-se    

Observação: o símbolo Ç em probabilidades pode ser lido como e.

Probabilidade Condicional

A probabilidade de um determinado evento pode ser alterada em função de informações adicionais que modificam o espaço amostral daquele evento. Por exemplo: aos domingos, os trens do Metrô, ramal Paulista, circulam a cada 4 minutos em média. Se chegarmos à plataforma da Estação Brigadeiro e um trem estiver saindo, a probabilidade de esperarmos 4 minutos por um novo trem é elevada, praticamente 100%. No entanto, se chegarmos à plataforma de embarque e nenhum trem estiver saindo, a probabilidade de esperarmos 4 minutos por um trem é pequena, quase nula. Provavelmente vamos esperar menos que 4 minutos. Desta forma, o fato de não haver nenhum trem saindo da plataforma alterou o valor da probabilidade de termos que esperar 4 minutos. Matematicamente, calculamos a probabilidade de ocorrência do evento A, sabendo-se que o evento B já ocorreu, pela relação entre a probabilidade de ocorrência A e B e a probabilidade de ocorrência de B. Simbolicamente,    

...........................................(07)

   ..

Independência de Eventos

Considere os eventos A e B. O evento A será independente do evento B se a probabilidade de ocorrência de A não é afetada pela ocorrência ou não ocorrência de B.

Por exemplo, quando jogamos uma moeda duas vezes, a probabilidade de sair cara na segunda vez é 50% e não depende do resultado obtido na primeira vez que a moeda foi jogada. Portanto, os eventos cara e coroa são independentes.

De uma forma mais complexa, podemos dizer que se P(B) é diferente de zero e se P(A/B) = P(A), os eventos A e B são independentes.

Regras da Multiplicação de Probabilidades Se tomarmos a fórmula da probabilidade condicional    

= ............ (07')

   e multiplicarmos ambos os lados por P(B), teremos:    

...........................(08)

Esta última fórmula é conhecida como regra geral da multiplicação de probabilidades. Da mesma maneira, podemos escrever que:    

............................(09)

   e que:    

.................... (10)

   E finalmente, se A e B são eventos independentes,    

...........................(11)

II – O TEOREMA DE BAYES Se tomarmos as equações 08 e 10 acima, podemos dizer que:    

............................(12)

    e que:    

..............................(13)

Qual é a diferença entre P(A/B) e P(B/A)? Acompanhe o seguinte exemplo: seja A o evento de que um profissional tem um bom emprego e B o evento de que um profissional tenha curso superior. Então, P(A/B) é a probabilidade de um profissional ter um bom emprego, sabendo-se que ele tem curso superior e P(B/A) é a probabilidade de um profissional ter curso superior sabendo que ele tem um bom emprego. A regra dada pela equação 13 pode ser generalizada para o caso de termos mais de dois eventos. Esta generalização é o Teorema de Bayes: se B₁, B₂, ..., e B_K são eventos mutuamente exclusivos, dos quais um deve ocorrer, então:  

..............(14)

para i = 1, 2, 3, 4, ..., ou k.

Compare esta expressão com a da equação (13) e note que o denominador da expressão (14) pode ser igualado a P(A).

Uma forma mais prática de entendermos a lógica do Teorema de Bayes é através do método gráfico. Assim:

 
III – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE O TEOREMA DE BAYES

III.1 – Em uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes, 25% de todos os carros testados emitem quantidades excessivas de poluentes. No entanto, o teste não é perfeito e pode indicar resultados errados. Desta forma, carros que emitem excesso de poluentes podem não ser detectados pelo teste e carros que não emitem excesso de poluentes podem ser considerados erroneamente fora do padrão de emissão. Quando efetivamente testados, 99% dos carros fora do padrão são detectados e 17% dos carros em bom estado são considerados fora do padrão por erro do teste. Qual é a probabilidade de que um carro reprovado pelo teste emita realmente excesso de poluentes?

Solução –

Considere que A é o evento de que um carro seja reprovado no teste, que B₁ seja o evento de que ele emite quantidade excessiva de poluentes e que B₂ seja o evento de que o carro esteja dentro das normas de emissão de poluentes. Então:

P(B₁) = 0,25

P(B₂) = 0,75

P(A/B₁) = 0,99

P(A/B₂) = 0,17

e o problema pede para calcularmos P(B₁/A)

A partir do diagrama apresentado a seguir, podemos calcular P(A). Existe um P(A) vindo pelo evento B1 e um P(A) vindo pelo evento B2. Logo

P(A) = 0,2475 + 0,1275 = 0,3750

Aplicando a equação 7, podemos calcular P(B₁/A).
 

III.2 – Em uma fábrica de monitores para computador, as linhas de montagem I, II e III respondem respectivamente por 50, 30 e 20 porcento da produção. Alguns monitores saem destas linhas com defeitos. A porcentagem de monitores defeituosos é de 0,4%, 0,6% e 1,2% respectivamente para as linhas I, II e III. Para evitar que os monitores defeituosos saiam da empresa e cheguem ao mercado, o controle de qualidade realiza inspeções individuais em todos os monitores fabricados e os que apresentam algum defeito são enviados para uma linha especial de recuperação. Calcule as seguintes probabilidades:

a – de um monitor qualquer produzido nesta empresa ser defeituoso;

b – de um monitor defeituoso encontrado na inspeção final ter sido produzido na linha de produção I.

Solução -

Considere os seguintes eventos:

A = o monitor foi produzido na linha I, logo P(A) = 0,50;

B = o monitor foi produzido na linha II, logo P(B) = 0,30;

C = o monitor foi produzido na linha III, logo P(C) = 0,20;

D = o monitor apresentou defeito;

P(D/A) = probabilidade do monitor defeituoso ter sido produzido na linha I = 0,004;

P(D/B) = probabilidade do monitor defeituoso ter sido produzido na linha II = 0,006;

P(D/C) = probabilidade do monitor defeituoso ter sido produzido na linha III = 0,012;

O problema pede para calcularmos duas probabilidades: a probabilidade de um monitor qualquer fabricado nesta empresa ser defeituoso, P(D) e a probabilidade de um monitor defeituoso ter sido fabricado na linha I, P(A/D).

Para calcularmos P(D), vamos utilizar o diagrama a seguir:

Logo, P(D) = 0,0020 + 0,0018 + 0,0024 = 0,0062 e, portanto
 

e     finalmente

IV – EXERCÍCIOS SOBRE O TEOREMA DE BAYES

IV.1 – Suponha que

P(A/B) = 0,8

P(A) = 0,5

P(B) = 0,2

Calcule P(B/A) resposta: P(B/A) = 0,08

IV.2 – Lasers semicondutores usados em produtos de armazenamento óptico de informações necessitam maiores níveis de potência em operações de escrita que em operações de leitura. Operações em altas potências diminuem a vida útil destes lasers.

Lasers em produtos usados para backup de discos magnéticos de alta velocidade, têm como função principal a escrita e a probabilidade de que sua vida útil exceda 5 anos é de 0,95. Lasers empregados em produtos utilizados para armazenamento principal gastam aproximadamente o mesmo tempo de seu funcionamento em operações de escrita e de leitura e a probabilidade de que sua vida útil exceda 5 anos é 0,995.

Um certo fabricante tem 25% de seus produtos usados em operações de backup e 75% usados em operação de armazenamento principal.

Considere que A seja o evento de que a vida útil de um laser exceda 5 anos e que B seja o evento de que um laser está em um produto usado para backup. Considere ainda que

P(B´) = 1 – P(B)

Use um diagrama para determinar as seguintes probabilidades
 
 

IV.3 – Consumidores são utilizados para fazerem avaliações de amostras preliminares de produtos. Em um levantamento estatístico destas avaliações, 95% dos produtos altamente bem sucedidos recebem boas avaliações, 60% dos produtos moderadamente bem sucedidos receberam boas avaliações enquanto 10% dos produtos mal sucedidos receberam boas avaliações. Alem disso, 40% dos produtos foram altamente bem sucedidos, 35% foram moderadamente bem sucedidos e 25% foram mal sucedidos. Pergunta-se:

a – Qual a probabilidade de um produto receber uma boa avaliação?

b – Se uma amostra preliminar obtêm boa avaliação, qual a probabilidade de que ela venha a ser um produto altamente bem sucedido?

c – Se um produto não obtêm uma boa avaliação, qual a probabilidade de que ele venha a ser um produto altamente bem sucedido? respostas: (a) – 0,615; (b) – 0,618; (c) – 0,052

VI – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS