Propósito :

El objetivo fundamental del presente ensayo es invitar a reflexionar sobre una de las ciencias que mas ha contribuido al desarrollo de la humanidad .

Iniciaremos con un pequeño viaje  a través del tiempo con mira a recordar su historial , desde los tiempos de Demócrito hasta nuestros días . Revisaremos la metodología de su enseñanza acerca de la influencia de la relacion que debe haber entre la informática y la condición humana del saber matemático, enfatizando  la necesidad de una enseñanza acorde a la evolución de la humanidad , en donde debe prevalecer la naturaleza humana sobre  la naturaleza cibernética

En un mundo tan dinámico,  donde  los conceptos tienden a volverse obsoletos en un abrir y cerrar de ojos, es necesario echar un vistazo a la historia, porque lo que hoy con las herramientas y conocimientos que poseemos es obvio, evidente y talvez fácil y con clic en una computadora lo resolvemos inmediatamente,  ayer era todo un reto que  solamente las mentes mas brillantes lograron parcialmente resolver.

Sabemos que la  visión histórica transforma hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento perseguidas ansiosamente  en muchas ocasiones por hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando por primera vez dieron con ellas. ¿ Cuantos de  esos teoremas, que en nuestros días de estudiantes aparecían  como fantasmas  que salían de la oscuridad  y se dirigían hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teoría , después de haberla estudiado mas a fondo , incluido su contexto histórico y bibliográfico ?

 Intuimos que la perspectiva histórica nos acerca a la matemáticas como ciencia humana , no endiosada , a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus errores . Que  nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarla a lo largo de muchos siglos por motivaciones muy distintas.

Creemos que el  conocimiento histórico nos proporciona una visión dinámica de la evolución de las matemáticas  donde se pueden conjugar la motivación de las ideas y desarrollos en donde se pueden buscar ideas originales en toda su sencillez y originalidad con el sentido de la aventura y de la lúdica.

 Percibimos que esta visión dinámica nos da la posibilidad de sumergirnos creativamente en las dificultades del pasado  lo mismo  que extrapolar fantásticamente  hacia el futuro.

El concepto y las ideas matemáticas nacieron con el homus sapiens por lo tanto son tan antigua como la propia humanidad , en los diseños prehistóricos  de cerámicas , tejidos y pinturas rupestres encontramos evidencias del sentido geométrico  y del interés en matemático. Posiblemente los primeros sistemas numéricos  primitivos de cálculo estaban basado en el uso de los dedos de una o las dos manos , lo que resulta evidente por la gran cantidad de sistemas numéricos donde las bases son los números 5  y 10 . Si observamos a un niño notamos que su primer sistema numérico es similar al que tenían nuestros antepasado en la infancia de la humanidad.

A partir de aquí los conceptos matemáticos fueron evolucionando y encontramos en el antiguo Egipto y  en Babilonia, las primeras referencia a matemáticas avanzada y organizadas , en donde primaban los cálculos aritméticos y geométricos, por allá por el tercer milenio antes de Cristo.

Los egipcios inventaron un sistema de numeración decimal  con diferentes símbolos paras sucesivas potencias de diez , similar al sistema utilizado por los romanos. Por su parte los babilonios desarrollaron conceptos matemáticos bastantes sofisticados y desarrollaron numérico sexagesimal igual de útil que el decimal , a la vez que los mayas inventaron un sistema vigesimal basado en el numero 20. Pero el mas importante de todos fue el sistema numérico indo-arábigo inventados por allá por el siglo VI AC que actualmente se usa (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,).

Los griegos en siglo VI AC . con Tales de Miletos y Pitágoras de Samos , a la cabeza enseñaron la importancia del estudio de  los números para poder entender al mundo. El filosofo atomista Demócrito , calculó el volumen de pirámides y conos ,considerándolos formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal ; Eudoxo y Arquímedes utilizaron el método del agotamiento para encontrar el área del círculo e Hipócrates de Cos , descubrió  que  el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas con arcos circulares son iguales a la de ciertos triángulos.  Euclides dejo plasmado en los 13 libros que componen sus Elementos la mayor parte de los conocimientos matemáticos existentes en finales del siglo IV AC. Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio , Grecia no tuvo ningún geómetra importante.

Las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón  de Elea .[1](1 )impidieron formular una teoría sistemática del cálculo.

Ningún progreso notable fue hecho hasta el siglo XVI cuando con mecánicos empezaron a examinar los centros de gravedad destacándose Luca Valerio (1552-1618) quien 1606 publico  De quadratura parabolae; y Kepler con su trabajo sobre el movimiento planetario.

En el siglo XVII , ocurrieron  los mas importantes avances en la matemáticas desde la época de Arquímedes y Apolonio . El siglo empezó con el descubrimiento de los logaritmos hecho por el matemático escosez John Napier  y que dada su gran utilidad llevo al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir dos siglos mas tarde,  que Napier  al reducir el trabajo de los astrónomos les había duplicado la vida.

 Cavalieri y Torricelli , ampliaron el uso de los infinitesimales , a la vez que los franceses Rene Descartes y Pierre de  Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes( integración y diferenciación). Aunque Fermat y Isaac Barrow tenían la certeza de que el cálculo diferencial y el integral estaban relacionados ; fueron el ingles  Isaac  Newton y el alemán Gottfried  Leibniz quienes demostraron que son inversos, lo que actualmente llamamos teorema fundamental del cálculo.

Aunque Joseph Lagrange([2]2) estableció claramente que consideraba a Fermat como el inventor del cálculo ; la historia concedió este honor a  Newton y Leibniz.

Después de Leibniz y Newton el desarrollo del cálculo fue continuado por Johann Bernoulli y Jacob  Bernoulli, siendo este último quien en 1690 bautizó el calculo de sumatoria como Calculo integral .

Hay que destacar  también en este siglo el descubrimiento de la geometría analítica hecho por Descartes y publicado en 1637 en el Discurso del Método, en donde se mostraba como utilizar el álgebra desarrollada desde el renacimiento para investigar la geometría de las curvas . Mención especial tienen el descubrimiento de la geometría proyectiva hecha por el ingeniero Gerard  Desargues .

Aunque en el  siglo XVIII aumento considerablemente el número de aplicaciones del cálculo  el uso impreciso de las cantidades infinitas e  infinitesimales , así como la intuición geométrica causaban aún mucha confusión y controversia sobre sus fundamentos siendo Berkely 3(3) unos de sus críticos mas notables y solamente  en el siglo XIX los analistas sustituyeron todas esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas. Balzano Y Agustín Cauchy definieron con precisión los limites y las derivadas, mientras que Cauchy Y Rieman hicieron lo mismo con las integrales.

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad.

 Los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia.

 A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann.

Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos.

La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclideana En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevsky y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann.

Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.

También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación. 4(4)

La matemática como ciencia nacida con la humanidad , ha sido empleada a lo largo de los siglos con objetivos profundamente diversos . Fue instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotámicos. Se considero como medio de aproximación a una vida mas profundamente humana y como camino de acercamiento a lo divino entre los pitagóricos. Fue utilizada como un importante elemento disciplinador  del pensamiento en la época medieval. Ha sido la mas versátil e idónea herramienta para la exploración del universo a partir del Renacimiento . Ha constituido una maravillosa guía del pensamiento filosófico entre los pensadores del racionalismo y  filósofos contemporáneos . Ha sido un instrumento de creación de belleza artística ,y un campo de ejercicio lúdico entre los matemáticos de todos los tiempos.

Dado que  la matemática es una ciencia intensamente dinámica y cambiante , de una manera rápida hasta turbulenta en sus propios contenidos  y aún en su propia concepción profunda ,aunque de modo mas lento , sugiere o induce a decir que la actividad matemática no puede ser en realidad de abordaje sencillo.

El binomio educación – matemática, no es nada simple , dado que la educación ha de hacer necesariamente referencia a lo mas profundo de la persona; una persona en proceso de formación, a la sociedad en evolución en la que esta persona va interactuar, a la cultura en que esta sociedad se desarrolla , a los recursos físicos que se dispongan y a objetivos que a esta educación se le quiera asignar .

La complejidad de las matemáticas y de la educación sugiere que los teóricos de la educación  y los docentes permanezcan  atentos y abiertos a los cambios en la dinámica rápidamente mutante que la situación global venga exigiendo.

La educación como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio, lo cual no es necesariamente malo, ya que una razonable persistencia antes las variaciones es  característica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales.

La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y la computadora han comenzado a influir poderosamente en la forma de orientar la educación matemática con mira que se aprovechen al máximo dichas herramientas. No obstante, los costos , falta de preparación de los docentes, inercia y hostilidad de algunos, aún dificultan la integración adecuada a los medios de enseñanza.

 A pesar de dificultades normales es evidente que nuestra forma de enseñanza y sus contenidos programáticos van a experimentar drásticas reformas. Habrá que poner énfasis en la comprensión de los procesos matemáticos mas que en la ejecución de ciertas rutinas que actualmente ocupan gran parte de la energía de los educandos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que ellos emplean. Lo realmente importante vendrá a ser su preparación para el dialogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en el futuro.

Contra la fuerte tendencia que existe hacia la deshumanización de la ciencia, a la despersonalización producida por la cultura computarizada, es  necesario un saber humanizado donde el hombre y la maquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde, siendo esta una de las metas de la matemática moderna.

Durante los últimos 20 años , nuestra sociedad ha puesto un mayor énfasis en la educación formal y aunque hemos observado algunas mejora valiosas en la educación pública aún existen inquietudes serias. La experimentación con una amplia gama de programas educativos ha pagado altos dividendos ya que muchos estudiantes vivieron experiencias inconsistentes y perturbadoras en los enfoques educativos y con frecuencia fueron victima de las pruebas de los nuevos métodos pedagógicos.

El énfasis sobre el aprendizaje de las habilidades en computación ha hecho que muchos estudiantes sean incapaces de deletrear ( el revisor de ortografía del computador se encarga de eso ) o calcular ( el computador también lo hace ). Los empresarios se quejan de que los recién graduados carecen de aptitudes de pensamiento creativo.

La clave para el éxito laboral del futuro será la capacidad de adaptación y el interés por aprender . El éxito no dependerá tanto de lo que se pueda hacer ahora sino de la facilidad por aprender a aprender y aplicar los nuevos conocimientos.

Los profesionales que han adelantado estudios superiores , donde han aprendido a aprender estarán en mejor posición en el futuro.

El progreso de la inteligencia humana consiste en ir convirtiendo en rutinaria aquellas operaciones que en un principio han representado un verdadero desafío para nuestra mente y si es posible, entregar la realización de tales rutinas a nuestras maquinas y con ello liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a la solución de problemas que todavía son demasiados profundo para las herramientas que disponemos.

Teniendo en cuenta las tendencias recientes de la filosofía de las matemáticas, presentadas por autores como Tymoszko (1986) y Ernest (1991), que sintetizan las posiciones de autores como Witgenstein y Lakatos, podemos  distinguir por lo  menos tres aspectos esenciales que deben ser tenido en enseñanza de las matemáticas : su condición humana, su lenguaje simbólico y el sistema conceptual.

1. Las matemáticas constituyen una actividad de resolución de situaciones problemáticas de una cierta índole, socialmente compartida; estas situaciones problemáticas se pueden referir al mundo natural y social o bien pueden ser internas a la propia matemática; como respuesta o solución a estos problemas externos o internos surgen y evolucionan progresivamente los objetos matemáticos (conceptos, procedimientos, teorías, ...).

2. Las matemáticas son un lenguaje simbólico en el que se expresan las situaciones- problemas y las soluciones encontradas; al igual que la música son un lenguaje universal en el que los signos empleados, su semántica y sintaxis son compartidos en los diferentes grupos humanos; como todo lenguaje implica unas reglas de uso que hay que conocer y su aprendizaje ocasiona dificultades similares al aprendizaje de otro lenguaje no materno.

3. Las matemáticas constituyen un sistema conceptual, lógicamente organizado y socialmente compartido; la organización lógica de los conceptos, teoremas y propiedades explican también gran número de las dificultades en el aprendizaje; un sistema no puede reducirse a sus componentes aislados, ya que las interrelaciones entre los mismos son una parte esencial. Surge así una paradoja en la enseñanza de las matemáticas: Cada concepto no puede enseñarse adecuadamente en forma aislada de otros conceptos; tampoco pueden enseñarse los diferentes conceptos simultáneamente; en consecuencia, cabría pensar que no es posible su enseñanza. Este problema se resuelve, al menos parcialmente, con la consideración del currículo "en espiral"; cada concepto es tratado varias veces a lo largo de la enseñanza, las primeras veces de modo implícito; progresivamente se va tomando como objeto de estudio en sí mismo, aumentando el grado de complejidad y completitud en su estudio.

Las matemáticas constituyen, por tanto, una realidad cultural constituida por conceptos, proposiciones, teorías, ... (los objetos matemáticos) y cuya significación personal e institucional está íntimamente ligada a los sistemas de prácticas realizadas para la resolución de las situaciones-problemas .

Como consecuencia de esta conceptualización del conocimiento matemático objetivo, "conocer" o "saber" matemáticas, por parte de una persona, no puede reducirse a identificar las definiciones y propiedades de los objetos matemáticos. Debe implicar ser capaz de usar el lenguaje y el sistema conceptual matemático en la resolución de problemas. Una persona no puede atribuir un sentido pleno a los objetos matemáticos a menos que éstos se relacionen con la actividad de la que indisolublemente emergen.

En las postrimerías del pasado milenio se realizó una encuesta entre mas de una centena prestantes personalidades del mundo académico y  científico y se le pidió que conceptuaran sobre cual había sido el invento mas importante en los dos últimos milenios  y nos encontramos con respuestas muy interesantes de las cuales quiero comentar las concernientes al tema que nos ocupa:

Bart Kosko 5(5) conceptúa y dice que el invento mas importante fue el Cálculo y manifiesta  que el mundo de hoy sería muy diferente si los griegos y no Newton y Leibniz  hubiesen inventado o descubierto el Cálculo, posiblemente el mundo de hoy hubiese ocurrido dos milenio o antes.

El cálculo fue el fruto real del renacimiento empezó dándole una mirada fresca al infinito , especialmente en lo infinitamente pequeño mas que en lo infinitamente grande y condujo en un solo golpe  a dos grandes avances.  Enseñó como modelar el cambio a través de las ecuaciones diferenciales  y mostró como optimizar , es decir,  encontrar la mejor o peor solución en un problema especifico

Este primer avance libero la concepción estática del mundo  y lo condujo por los caminos de la  dinámica., descripción que permitió que las cosas cambiaran y evolucionaran en el tiempo. Es aquí donde se inició la ciencia espacial.

El segundo avance tuvo una aplicación muy practica  , enseño como maximizar utilidades y minimizar costos. Algún día lo podemos usar para minimizar los efectos de la mala salud o para maximizar el buen comportamiento.

El Cálculo esta en el corazón de nuestro mundo moderno. Sus ecuaciones condujeron a la predicción  de los agujeros negros. Fabricamos los primeros computadores y ejecutamos  otra ecuaciones para predecir donde aterrizarían las bombas y como estudiar el micro universo del cuerpo humano,  evoluciono hasta lo que se llama el calculo estocástico  que sirve para evaluar el desarrollo de la economía global  a partir del  misterioso mundo financiero.

Para  Keith Devlin 6(6)  y John Barrows 7(7) el invento  mas importante fue el sistema numérico indo-arábigo , el cual alcanzo su forma actual en el siglo VI  AC.

Sin esto Galileo hubiese sido incapaz de iniciar el estudio cuantitativo de lo que hoy llamamos ciencias. Hoy podemos decir que hay muy pocos aspectos de la vida que no dependan de nuestra habilidad de  manejar números con eficiencia y exactitud. Es cierto que ahora los computadores que trabajan con un sistema binario , pero sin el sistema numérico indo – arábico posiblemente no hubiese habido computadores.

En adicción a su uso,  este sistema numérico indo - arábico es el único genuinamente universal y desde lejos el mejor diseñado y mucho mas eficiente para el uso humano que cualquier otro sistema numérico.

Para John Madox 8(8)  el invento mas importante es el Cálculo, ya que este hizo de la ciencia lo que es hoy. Su efecto en la física y eventualmente en resto de las ciencias muy profundo. Que seria de los campos teóricos desde Maxwell y Einstein a Schrodinger/Feynman/Schwinger/Weinberg y otros sin el Cálculo.

Finalmente para Lee Smolin 9(9) , el invento mas importante de los dos últimos milenio fue la idea matemática, la cual es la noción de la representación que un sistema de relaciones ya sean matemáticas o físicas pueden ser representada fielmente por otro.

Descartes fue el primero que uso plenamente este concepto cuando invento la geometría analítica , basado en el descubrimiento de una relación precisa entre dos clases diferentes de objetos matemáticos, en este caso números y geometría.

Esta correspondencia hizo posible formular preguntas generales acerca  de figuras geométricas en términos de números y funciones y cuando los científicos de la época aprendieron  a contestar estas preguntas,  ellos se dieron cuenta que habían  inventado el calculo.

Ahora nosotros sabemos  que la existencia de tales relaciones entre sistemas de relaciones es  lo que da a la matemática su poder real.

Mucho de los mas importante desarrollos matemáticos del  presente siglo , tales como la topología algebraica, la geometría diferencial, la teoría de la representación y geometría algebraica surgen del descubrimiento de tales relaciones , donde la   geometría analítica de Descartes fue solo el primer ejemplo.

Los mas profundo desarrollos en la matemáticas modernas  y en la física teórica están basado en la noción de la representación, la cual usamos en términos generales para codificar un conjunto de relaciones matemáticas en termino de otros

Una vez que se entiende que  un sistema matemático puede representar a otros, la puerta esta abierta para preguntarse si un sistema matemático podría representarse por un sistema físico o viceversa. Y fue Kepler el que primero entendió que el rumbo de los planeta en el espacio podrían formar orbitas cerradas cuando se miraban desde un punto de referencia correcto . Este descubrimiento de correspondencia entre movimiento y geometría fue mucho mas profundo que la noción ptolomeica de que las orbitas estaban formadas por movimiento de círculos sobre círculos. Antes de Kepler la geometría había jugado un papel importante en la generación de movimiento pero solamente con Kepler se intentó representar las orbitas como figuras geométricas.  Al mismo tiempo Galileo usando accesorios como el péndulo y el plano inclinado se dio cuenta que el movimiento de los cuerpo ordinarios podía  ser representado geométricamente y cuando se combino con concepción Descartiana  de correspondencia entre números y geometría fue posible espacializar el tiempo, que es la representación del tiempo y movimiento en términos geométricos. Esto no hizo solamente posible la física Newtoniana sino que por primera vez se logro construir relojes de alta precisión  para medir la velocidad terrenal mas  que la sideral.

El paso siguiente en el descubrimiento de correspondencia entre sistemas matemáticos y físicos  de relaciones llego con la representación de las operaciones lógicas en términos de movimientos físicos . Esta idea fue inicialmente aplicada en las calculadoras mecánicas y maquinas lógicas , conduciendo mas tarde a la invención de la computadora.

El paso final en el proceso iniciado por Descartes en la geometría analítica,  de que si un sistema físico podría representar un sistema matemático , entonces un sistema físico podría representar otro,  condujo ver que la secuencia de pulsos eléctricos podían  representar, ondas, fotografías y todas estas podrían ser representadas por ondas electromagnéticas y de allí nació otro de los mas importantes inventos como es el de la telecomunicación.

La noción de la representación no es solamente el mas importante invento matemático sino que su idea fue el motor que permitió desarrollar los inventos mas fascinantes de los últimos tiempos.

Reflexionando encontramos que la condición humana además de ser política por naturaleza es matemática por adopción , ya que la matemática ha sido, es y Serra una de las herramientas invaluable para el desarrollo de la humanidad como se puede apreciar a través de lo arriba expuesto.

Los sistemas numéricos, el cálculo  y la idea de la representación matemática,  constituyen la base de las matemáticas en todas sus formas  y como hemos vistos ,generaciones de científicos han dedicado su vida al desarrollo de la una de las mas importantes  ciencias en toda extensión con mira garantizar a las generaciones actuales y futuras, una vida plena de conocimiento que faciliten el transitar de la humanidad hacia el infinito maximizando su estadía y disfrute terrenal a la vez que minimiza y controla las energía negativas que existen en la naturaleza humana

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22 .    Herman Roger , Turbulencia, Mc Graw –Hill, 1997

23. Hurtado Minotta Enrique A, Reflexiones para el Curriculo, http://www.oocities.org/soho/atrium/7521/tesis.html

Notas al pie de paginas

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[1] (1) Zenón said :  If a body moves from A to B then before it reaches B it passes through the mid-point, say B1 of AB. Now to move  to B1 it must first reach the mid-point B2 of AB1. Continue this argument to see that A must move through an  infinite number of distances and so cannot move.

[2]2) Pierre de Fermat also investigated maxima and minima by considering when the tangent to the curve was parallel to the x-axis. He wrote to Descartes giving the method essentially as used today, namely finding maxima and minima by calculating when the derivative of the function was 0. In fact, because of this work, Lagrange stated clearly that he considers Fermat to be the inventor of the calculus.
 
3 (3) . However when Berkeley published his Analyst in 1734 attacking the lack of rigour in the calculus and disputing the logic on which it was based much effort was made to tighten the reasoning. Maclaurin attempted to put the calculus on a rigorous geometrical basis but the really satisfactory basis for the calculus had to wait for the work of Cauchy in the 19th Century

4  (4) Matemáticas", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 98 © 1993-1997 Microsoft Corporation.

5  (5)  BART KOSKO is professor of electrical engineering at the University of Southern California; he
is author of Fuzzy Thinking and Nanotime.

6 (6 )    KEITH DEVLIN, a mathematician, is the author of Goodbye, Descartes : The End of Logic
 and the Search for a New Cosmology of the Mind; Life by the Numbers; and The Language
of Mathematics: Making the Invisible Visible.

7 (7)   JOHN BARROW is Professor of  Astronomy at the University of Sussex , England.
He is author  of The World Within the World, Pi,in the Sky, Theories of Everything,
The Origin of the Universe, The Left Hand of Creation, The Artful Universe, and  Impossibility : The Limits of Science and the Science of Limits.

8  (8)    JOHN MADDOX is Editor emeritus of Nature; physicist; author of Revolution in Biology, The
 Doomsday Syndrome, Beyond the Energy Crisis, and What Remains to be Discovered. See
EDGE: "Complexity and Catastrophe" A Talk With Sir John Maddox."

9 (9)     LEE SMOLIN is a theoretical physicist; Professor of Physics at the Center for Gravitational
Physics and Geometry at Pennsylvania State University; author of The Life of The Cosmos. See
 EDGE:" A Possible Solution For The Problem Of Time In Quantum Cosmology" By Stuart
Kauffman and Lee Smolin. See The Third Culture, Chapter 17.