GUÍA DE ACTIVIDADES

TRABAJANDO CON TESELADOS

Tal como se comentó anteriormente, las siguientes son algunas actividades pensadas para trabajar el tema de Mosaicos o Teselados con alumnos del 8° o 9° año de E.G.B.

Pero no aparecerán aquí sólo las actividades a desarrollar sino también algunos comentarios que aclaren lo que se desea trabajar a partir de ellas.

La distribución o división de la propuesta, si bien es sólo tentativa, se comentará también el por qué de dicha elección.

Para rever en principio algunos conceptos previos y a partir de ellos comenzar con el tema específico de la presente guía, se reparten a los alumnos, distribuidos por grupos, sobres que contienen diferentes figuras (luego ellos verán que son regulares) para trabajar con las siguientes actividades:

(SOBRE N°1)

 A partir del material distribuido:

• Clasificá las diferentes figuras que aparecen en tu sobre.
• Tomá una de las figuras y marcá en ella los lados, las diagonales, los vértices y los ángulos interiores.
• ¿Qué nombre reciben cada una de ellas según el número de lados?
• Medí cada uno de los lados y ángulos interiores de las diferentes figuras. ¿Qué conclusión obtenés? Fundamentá tu respuesta.
• A partir de la conclusión del ítem anterior, ¿qué otros elementos podés distinguir en este tipo de figuras?

 Tomá fichas del mismo tipo y embaldosá una región de un plano, de manera que no queden huecos, que dos de ellas no se superpongan y que a los vértices sólo concurran vértices.

 ¿Fue posible? ¿Por qué?

 Generalizá para el resto de las figuras regulares.

Esta generalización puede llevarse a cabo a partir de la puesta en común del trabajo de cada uno de los grupos, donde se verá la forma en que cada uno de ellos fundamentó su conclusión respecto de las figuras regulares que permiten embaldosar un plano.

Otra forma de llevar a cabo esta generalización, de acuerdo al nivel del curso, es a través de la demostración, al menos informal, de las figuras regulares que permiten ser utilizadas para la construcción de un teselado. Vale aclarar en este punto que no todos los cursos pueden llegar a la deducción que estamos esperando, pero sería una buena idea proponer a los alumnos la presentación de la demostración formal al finalizar la resolución de las guías.

Se puede aclarar también, para el desarrollo del próximo ítem y los siguientes, que consideraremos de aquí en más, al realizar algún movimiento, la figura inicial y la transformada.

Esto se debe aclarar ya que en Matemática, al considerar los movimientos de figuras en el plano, estudiamos y analizamos la figura obtenida al aplicar una determinada función puntual (el movimiento que queramos hacer). Pero en este caso, para poder construir todo un teselado, necesitamos ambas -la inicial y la transformada- para poder ir completando la región del plano deseada.

 En uno de los cubrimientos, designá una ficha como figura inicial e indicá qué movimientos son necesarios para realizar tal embaldosado.

 ¿Podés obtener el mismo embaldosado empleando otros movimientos? ¿Cuáles?

 ¿Qué modificarías en la figura inicial para que ocurra lo contrario a la respuesta dada en el punto anterior?

En el ítem 6- el alumno podrá notar que hay figuras que permiten construir el mismo teselado aplicando distintos movimientos en cada construcción. Por ejemplo, si elegimos como figura inicial el cuadrado, vemos que podemos aplicar sucesivas traslaciones y podemos obtener un mosaico. Del mismo modo, podemos aplicar sucesivas rotaciones, con centro en uno de sus vértices y un ángulo de rotación de 90°, y obtendremos al finalizar el mismo teselado. Continuando este análisis, podemos aplicar al cuadrado inicial una simetría axial considerando un lado como eje de simetría y, una vez más, obtendremos el mismo mosaico.

Pero a partir de la pregunta del ítem 7- el alumno debe notar que esto puede considerarse algo casual, porque todo depende del tipo de ficha con que estemos trabajando (no sólo depende de la forma). Basta con agregar algún dibujo, por ejemplo, a la ficha original y veríamos que la respuesta anterior no coincide en este caso.

Podemos ver en las siguientes figuras, que si consideramos una ficha cuadrada con un dibujo en ella, el resultado no es el mismo. No nos quedará el mismo teselado si partimos de la figura original y realizamos diferentes movimientos. Podemos destacar a partir de este resultado la importancia de reconocer la imagen de cada uno de los puntos al aplicarle una determinada función y no sólo la imagen final.

 Realizá cubrimientos empleando dos figuras regulares, respetando las condiciones del segundo punto. ¿Cuáles empleaste?

 Generalizá tu respuesta, analizando las posibles combinaciones de figuras regulares que permitan construir un teselado.

 Encontrá polígonos no regulares que permitan embaldosar un plano.

Esta propuesta de actividades que se vieron puede corresponder a una primera etapa del trabajo, que sirve para rever conceptos geométricos fundamentales para un futuro avance en el tema.

Las actividades que veremos a continuación pueden desarrollarse utilizando la computadora como recurso. Tal como se comentó anteriormente, existen programas sencillos de fácil manejo, como el Paintbrush por ejemplo, que le permite al alumno diseñar y experimentar de diversas formas.

Se podrá observar, de acuerdo al tipo de tareas que se proponen, que no es obligatorio el uso de la PC, pero sí se puede considerar una muy buena herramienta de trabajo en el aula para esta ocasión.

 Realizá un mosaico a partir de esta figura e indicá qué movimientos en el plano son necesarios para su diseño:

 ¿Son los mismos movimientos que se aplicaron en este otro mosaico? 

 ¿Qué otros movimientos se podrían haber aplicado para cubrir una región del plano?

Ejemplificá a partir de la creación de tus propios diseños.

 Analizá nuevamente todos los posibles movimientos que se pueden aplicar, utilizando como figura inicial algún polígono no regular que respondiste en el punto 10- de la guía anterior.

Estos últimos ítems permitirían también rever algunos conceptos, en caso de considerarse necesario, de acuerdo al grupo con el que se esté trabajando. Ya que se pide en los mismos la construcción de diferentes teselados, se puede en principio incorporar algunas condiciones como por ejemplo: diseñar mosaicos tomando como figura inicial

• un polígono que tenga un par de lados paralelos
• un polígono que tenga un par de lados perpendiculares.
• un polígono donde uno de sus ángulos interiores sea de una determinada amplitud.

Estos requisitos que se piden en la figura original que los alumnos deben construir, pueden ir variando de acuerdo con los conceptos que se quieran rever, para luego dar lugar a los diseños libres propios de los alumnos.

En el próximo punto se explica la técnica de recorte que se nombró dentro de los comentarios generales del trabajo. Como se podrá ver, las indicaciones son muy sencillas.

El análisis completo o más exhaustivo de esta técnica también es otro tema que se podrá incluir o no, de acuerdo con el nivel del curso: en algunos casos requerirá la explicación del docente acerca de todas las posibilidades de recorte que se puede hacer en función del movimiento que después se quiera aplicar, y en otros casos se podrá dejar esta investigación a los alumnos para su gradual descubrimiento.

Si bien aclaramos al comienzo de esta guía las ventajas del uso de algunos programas como herramientas para el diseño de los teselados, en este punto se incrementan aún más esas virtudes debido a la facilidad que presentan respecto de la experimentación y la creatividad.

 Se pueden lograr diseños originales partiendo de una figura y trabajando en ella como lo muestra el siguiente diagrama:

Investigá ésta y otras maneras de trabajar a partir de una figura inicial, y creá nuevos diseños para agregar a los realizados anteriormente.

Tal como se comentó en líneas anteriores a este último ítem, la técnica explicada puede ser analizada en profundidad y descubrir así nuevos y diferentes tipos de cortes que pueden hacerse a la figura original, para lograr nuevas figuras que permitan construir teselados, de acuerdo con los movimientos a aplicar.

Puede verse a continuación, a modo de ejemplo, algunas de las variantes que los mismos alumnos pueden descubrir, o como ya se comentó, pueden trabajarlo junto al docente en caso de ser necesario, según el grupo con que estemos desarrollando las actividades.

Traslación:

Rotación:

Una vez más, nos encontramos con una actividad que a pesar de estar centrada en el tema específico que queremos trabajar, puede servirnos para rever conceptos previos.

Así, por ejemplo, puede pedirse a los alumnos que apliquen esta técnica partiendo de un cuadrado, que calculen el perímetro y el área de la figura original así como también de la nueva figura obtenida. Podemos trabajar a partir de esto la idea de figuras con áreas equivalentes, a pesar de encontrarnos en algunos casos con figuras que no son poligonales y por lo tanto no tendríamos una fórmula que nos permita calcularlo directamente. Con respecto al perímetro descubrirán que sí varía al aplicar la técnica de recorte, sin considerar alguna posible excepción. Pueden verse las ideas comentadas en la siguiente figura:

En otra guía de actividades se pueden mostrar figuras que sirven para la construcción de teselados, que fueron analizadas por algunos matemáticos. Se entrega para ello un sobre con fichas del teselado que se verá continuación (pueden realizarse con cartón o cualquier material similar)

(SOBRE N°2)

 Las teselas de Truchet son una modificación hecha por Clifford A. Pickover a una figura inventada por el francés P.Sebastien Truchet, consistente en dos cuartos de un círculo inscriptos en un cuadrado, centrados en sus vértices opuestos y que interseca los lados del cuadrado en sus puntos medios, como por ejemplo:

Donde se pavimenta una región plana con estas figuras, aparecen extrañas figuras sinuosas sin que queden cabos sueltos, excepto los bordes de la región.

• Indicá la veracidad de la siguiente afirmación. Justificá tu respuesta.
• "La continuidad de cada curva está  garantizada, porque los puntos medios de los lados de los cuadrados adyacentes siempre coinciden."
• Realizá distintos diseños utilizando el material distribuido.
• ¿Qué conclusiones obtenés a partir de la comparación de los dos últimos ítems?
• Diseñá con el material que creas más conveniente las piezas necesarias para construir el siguiente rompecabezas espacial a partir de las figuras conocidas de Truchet:

Para el análisis del teselado de Truchet, se puede emplear aquí también la computadora como recurso, además del material concreto utilizado, ya que existe un programa que trabaja específicamente con este teselado. Permite, a través de algunas teclas, modificar ciertas condiciones como por ejemplo el tamaño de la figura que se tomaría como inicial, los colores del diseño final, la rotación que se le daría a la figura inicial antes de realizar el mosaico, etc.

Aquí podemos ver a modo de ejemplo un teselado de Truchet logrado con el programa:

Este programa cumple con las condiciones que se pueden tener en cuenta en la elección de un software educativo, de forma tal que la utilización de un programa no constituya el mayor inconveniente; no debemos olvidarnos que el problema no se debe centrar en el manejo del software sino en el tratamiento de los contenidos conceptuales que se quieren trabajar.

Es decir, se tendrá en cuenta al elegir los programas con que trabajar:

• que tengan un manejo sencillo, con interfaces amigables que no conviertan a la herramienta en un nuevo problema, agregando otra variable a la cuestión que desea resolverse.
• que no sea de tan alta sofisticación que dificulte su empleo ni tan básico que nos prive de utilidad.
• que, de ser posible, el idioma con que cuentan sea el nuestro, para que esto tampoco sea otra dificultad que aparte a los alumnos del objetivo central.

De esta forma, los alumnos pueden desarrollar los próximos ítems, realizando rápidamente la cantidad de teselados que consideren necesarios, ajustando o modificando las variables que crean convenientes para poder responder las consignas.

• Utilizando el programa Tesela25, analizá algunos de los diseños que son posibles a partir de las figuras de Truchet.
• Investigá cada una de las opciones que ofrece el menú indicando qué cambios produce cada una de ellas en el teselado.

 Una de las principales aplicaciones de los teselados (vistos como grupos de simetría) es la cristalografía. Los átomos y las moléculas de la materia en estado cristalino se acomodan de manera análoga a como lo harían las baldosas en un embaldosado periódico y muchas de las propiedades de los cristales depende, de alguna manera, de su estructura geométrica.

Un tipo de teselación que podría describir la estructura de los quasicristales es la llamada teselación de Penrose, construida por Roger Penrose, un físico matemático de la Universidad de Oxford, en 1974. Dicha teselación está formada por dos tipos de rombos, uno con ángulos de 72° y 108° y el otro con ángulos de 36° y 144°.

• Construí un modelo de las teselas de Penrose.
• Compará tus rombos con los de tus compañeros. ¿Cómo resultan las figuras?

(SOBRE N°3, con los rombos de Penrose como fichas)

• A partir del material distribuido, realizá diversos diseños. ¿Qué conclusiones podés obtener?

Con este nuevo material, podemos introducir la noción de teselados no periódicos, además de rever, como se puede notar en las actividades, los conceptos de construcciones geométricas y figuras semejantes.

 A partir del análisis que realizó sobre el material visto, Penrose descubrió un nuevo ejemplo de razón áurea: halló dos figuras sencillas (que las llamó cometa y flecha, de acuerdo con su forma) tales que con réplicas de ellas se puede recubrir el plano de una manera no periódica y cuyas dimensiones guardan la proporción áurea.

• Construí una réplica de las fichas de Penrose, siguiendo el modelo que te mostramos a continuación:

• ¿Qué nombre recibe este polígono de acuerdo a los datos con que contamos? Justificá tu respuesta.
• ¿Por qué dice el enunciado que Penrose descubrió un nuevo ejemplo de sección áurea?

A partir del ítem anterior se puede rever el concepto de proporción áurea, ya que las dimensiones de las fichas de Penrose guardan esta proporción (x/y da como resultado el "número de oro"). En esta revisión podemos incluir desde la proporcionalidad de segmentos, la proporción áurea hasta los rectángulos áureos, ya sea desde la Matemática, o bien desde la aplicación de todos estos conceptos en el Arte.

Aquí también podemos fabricar fichas con el diseño de Penrose, para repartir a los alumnos distribuidos en grupos, como lo muestra la siguiente figura. Puede verse en ella (y teniendo en cuenta los datos que aparecen en la figura anterior) que Penrose parte de uno de sus rombos que analizamos en la actividad anterior. Las fichas a repartir ya estarán cortadas separando la ficha cometa de la flecha, tal como las llamó Penrose:

(SOBRE N°4 con las fichas "cometa" y "flecha" en cartón)

• A partir del material distribuido, realizá con tu grupo un teselado.

Quedarán teselados muy particulares ya que se podrá descubrir durante la construcción de los mismos que es importante en este caso la colocación de cada ficha, porque no siempre podrá continuarse con el mosaico (es importante entonces analizar qué sucede con la amplitud de los ángulos interiores de cada ficha y con una variante respecto de las baldosas trabajadas hasta ahora: en este caso, una de ellas es cóncava)

Algunos ejemplos se muestran en las siguientes imágenes:

Tal como se anticipó en los comentarios generales del trabajo, se pueden también analizar teselados ya hechos, para descubrir las figuras que pueden considerarse como iniciales e indicar los movimientos necesarios para realizar el mosaico.

 Analizá los siguientes teselados del artista holandés Maurits Escher. Indicá en cada uno de ellos la figura inicial y los movimientos necesarios para realizar el diseño.

¿Es única tu respuesta?

 Acerca del análisis y diseño del software utilizado en la elaboración de los teselados, y guiándote por las siguientes preguntas, redactá un artículo periodístico en el que se critica el soft:

• ¿Qué ventajas le encontrás?
• ¿Qué desventajas le encontrás?
• ¿Qué modificaciones realizarías para corregir esos inconvenientes?
• ¿Con qué recursos lo implementarías?

No te olvides: título, copete, ...

No extender el artículo más de una carilla (tamaño carta o A4)

 Realizá un trabajo similar al punto anterior, analizando esta vez el material utilizado durante el desarrollo del trabajo. Incluí nuevo material diseñado junto a tus compañeros de grupo a partir de los mosaicos realizados en actividades anteriores, utilizando o no el mismo tipo de material (justificá las razones por las que se mantiene el mismo o se modifica).