Copo de Nieve de Koch o Isla Triáda de Koch

LA TRIADA DE KOCH y OTROS EXTRAÑOS FRACTALES (1)

Dentro de lo extraños y peculiares que pueden llegar a ser los fractales, me es imposible dejar de mencionar la anécdota del "Problema de la Longitud de una Costa", como le he llamado personalmente (ignoro si alguien más le habrá llamado así, pero da igual). Este problema surge hace mucho tiempo en mente de otros matemáticos, pero es Mandelbrot quien lo pone ante mis ojos por primera vez. En resumen, la pregunta que genera todo el asunto es, al parecer, simple: ¿cuál es la longitud de la costa de Bretaña?. A modo de irónico humor, Mandelbrot nos habla un poco de la simplicidad con que esta pregunta es abordada para resolverla, pero tarde o temprano terminamos por darnos cuenta de lo mismo que él se dio cuenta (y quien sabe si otros no!). Muchos de los que se enfrentaron a esta pregunta reaccionaron como los sabios ante Colón con el problema del huevo (recuerda usted eso, no?).

Pensemos lo siguiente: ¿de qué manera mediría la costa de Bretaña lo más exactamente posible? Si no conoce Bretaña, no hay problema -yo no la conozco-, sólo debe imaginar cualquier otra costa... por qué no decirlo, imaginemos la costa de Chile (o la de su país respectivo). Muchas veces en nuestras vidas hemos visto un mapa de Chile y su irregular costa. Más aún, hemos intentado dibujarla en tediosas tareas de la escuela que nos resultan complejas al tratar de copiar con cabalidad esas estribaciones que el mapa nos muestra. Incluso podemos medirla. De seguro que ya ha pensado en eso. Tomar un mapa de Chile, un compás de puntas metálicas delgadas y copiar la escala que aparece en el espacio inferior, generalmente a la derecha. Luego, sin cambiar esa longitud, ir desplazándola a través del mapa e ir contando las veces que cabe para llegar a una aproximación de la longitud de la costa completa... ¡Exacto! ¡Una aproximación!. Si usted considera este método, muy similar al que propone Mandelbrot, notará que la imprecisión de la longitud final depende de la longitud inicial que tenga el compás (la que, en este caso, copiamos de la escala de nuestro imaginario mapa).

Supongamos un compás con una abertura determinada "e". Si repetimos esta longitud en el mapa, de principio a fin de la costa que deseamos medir contando el número de pasos que esto nos toma y luego los multiplicamos por la longitud inicial, obtendremos una longitud final L(e). Observemos que, mientras menor sea la longitud "e", mayor será la L(e). Entonces, si empequeñecemos infinitamente esa medida "e", que lo podemos considerar posible, la longitud L(e) será infinita. Esto resulta si lo meditamos un poco. Entonces, aquel problema de la medición de la costa de Bretaña derivó en que Mandelbrot descubriera que su medición era propiamente "fractal". Cumplía con todas las propiedades que había determinado para estos cuerpos. No así, llegar a resolver este problema tomó mucho tiempo y esfuerzo. La idea anterior de la medición queda reflejada en este gráfico:

Pero el tema de esta página es otro. Un matemático (Von Koch, claro está) descubrió una peculiaridad en una figura, tratando de representar la medición de una isla. No así, cuando llevó a cabo su tarea, derivó en pensamientos abstractos -propios de la matemática- y descubrió uno de los fractales más básicos de hoy en día (si puede decirse así).

Como ya dijimos anteriormente, la isla Triáda de Koch se forma con la "iteración" de un Triángulo Equilátero sobre los tercios medio de sus lados. Si no ha visto nunca antes esta figura, refiérase a la página principal. Pero como este nombre es tan largo, le llamaremos simplemente Copo de Nieve K o Copo K. En fin. Su generación es una de las más simples y puede hacerse geométricamente (es decir, sin ayuda de computadores). Si desea, tome un trozo de papel, lápiz y regla y comience a dibujarlo: elija un lado cualquiera y dibuje un triángulo equilátero. Luego, divida los lados en tres partes iguales. Trace las rectas que unan los puntos de lado en lado. Se formará automáticamente el otro triángulo. En los nuevos cuatro triángulos que se forman -nuestro triángulo original forma ahora la conocida Cruz de David- repita el mismo proceso. Puede hacerlo cuantas veces quiera. Eso determinará lo bien hecho de la figura. No confunda este proceso con dibujar otro triángulo más pequeño dentro del otro triángulo mayor. Eso sería trazar las medianas y entraríamos a otro tipo de fractal, que es llamado Triángulo de Sierprinsky. Este se forma generando sucesivos triángulos dentro de otros triángulos. Usted podrá ver este proceso en el área de PROGRAMAS EN JAVA, en un simple applet que muestra este proceso.

Aún así, todo el problema de la Costa de Bretaña radica en el simple hecho de considerar la longitud como "infinita" al intentar medirla con instrumentos que solo miden dimensiones euclideanas, siendo que para obtener lo que buscamos realmente, necesitamos introducir un nuevo concepto como el de "Dimensión Fractal".

INICIO | CUERPOS FRACTALES | GENIOS CREADORES | PROBLEMAS FRACTALES | IMÁGENES FRACTALES